- Formules en eigenschappen
- Het gebied onder de curve
- Opgeloste oefeningen
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing
- Referenties
De Riemann-som is de naam die wordt gegeven aan de benaderde berekening van een bepaalde integraal, door middel van een discrete sommatie met een eindig aantal termen. Een veel voorkomende toepassing is de benadering van het gebied van functies op een grafiek.
Het was de Duitse wiskundige Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) die voor het eerst een rigoureuze definitie gaf van de integraal van een functie in een bepaald interval. Hij maakte het bekend in een artikel dat in 1854 werd gepubliceerd.
Figuur 1. De Riemann-som wordt gedefinieerd op een functie f en op een partitie in het interval. Bron: Fanny Zapata.
De Riemann-som wordt gedefinieerd op een functie y = f (x), waarbij x behoort tot het gesloten interval. Op dit interval wordt een partitie P van n elementen gemaakt:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Dit betekent dat het interval als volgt is verdeeld:
X k-1 ≤ t k ≤ X k
Figuur 1 toont grafisch de Riemann-som van de functie f in het interval op een partitie van vier subintervallen, de grijze rechthoeken.
De som vertegenwoordigt de totale oppervlakte van de rechthoeken en het resultaat van deze som benadert numeriek de oppervlakte onder de curve f, tussen de abscis x = x 0 en x = x 4 .
Natuurlijk verbetert de benadering van het oppervlak onder de curve aanzienlijk naarmate het aantal n partities groter is. Op deze manier convergeert de som naar het gebied onder de curve, wanneer het aantal n partities naar oneindig neigt.
Formules en eigenschappen
De Riemann-som van de functie f (x) op de partitie:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Gedefinieerd over het interval, wordt het gegeven door:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (X k - X k-1 )
Waar t k een waarde is in het interval. In Riemann-som worden meestal regelmatige intervallen met breedte Δx = (b - a) / n gebruikt, waarbij a en b de minimum- en maximumwaarden van de abscis zijn, terwijl n het aantal onderverdelingen is.
In dat geval is de Riemann juiste som:
Sd (f, n) = * Δx
Figuur 2. Riemann juiste som. Bron: Wikimedia Commons. 09 glasgow 09.
Terwijl de Riemann-linker som wordt uitgedrukt als:
Als (f, n) = * Δx
Figuur 3. Linker Riemann-som. Bron: Wikimedia Commons. 09 glasgow 09
Ten slotte is de centrale Riemann-som:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Figuur 4. Gemiddelde Riemann-som. Bron: Wikimedia Commons. 09 glasgow 09
Afhankelijk van waar het punt t k zich in het interval bevindt, kan de Riemann-som de exacte waarde van het gebied onder de curve van de functie y = f (x) overschatten of onderschatten. Met andere woorden, de rechthoeken kunnen uit de curve steken of er iets onder staan.
Het gebied onder de curve
De belangrijkste eigenschap van de Riemann-som en waarvan het belang is afgeleid, is dat als het aantal onderverdelingen neigt naar oneindig, het resultaat van de som convergeert naar de bepaalde integraal van de functie:
Opgeloste oefeningen
- Oefening 1
Bereken de waarde van de bepaalde integraal tussen a = -2 tot en met b = +2 van de functie:
f (x) = x 2
Maak gebruik van een Riemann-som. Om dit te doen, zoekt u eerst de som voor n reguliere partities van het interval en neemt u vervolgens de wiskundige limiet voor het geval dat het aantal partities naar oneindig neigt.
Oplossing
Dit zijn de te volgen stappen:
-Eerst wordt het partitie-interval gedefinieerd als:
Δx = (b - a) / n.
-Dan ziet de Riemann-som aan de rechterkant die overeenkomt met de functie f (x) er als volgt uit:
-En dan wordt het zorgvuldig vervangen in de sommatie:
-De volgende stap is om de sommaties te scheiden en de constante grootheden als een gemeenschappelijke factor van elke som te nemen. Houd er rekening mee dat de index i is, daarom worden de getallen en termen met n als constant beschouwd:
-Elke som wordt geëvalueerd, aangezien er voor elk ervan passende uitdrukkingen zijn. De eerste som geeft bijvoorbeeld n:
-Tenslotte is de te berekenen integraal:
De lezer kan controleren of dit het exacte resultaat is, dat kan worden verkregen door de onbepaalde integraal op te lossen en de limieten van integratie te evalueren volgens de regel van Barrow.
- Oefening 2
Bepaal ongeveer het gebied onder de functie:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Voer x = -1 en x = + 1 in, met een centrale Riemann-som met 10 partities. Vergelijk met het exacte resultaat en schat het procentuele verschil.
Oplossing
De stap of toename tussen twee opeenvolgende discrete waarden is:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Dus de partitie P waarop de rechthoeken zijn gedefinieerd, ziet er als volgt uit:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0.2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}
Maar aangezien wat gewenst is de centrale som is, wordt de functie f (x) geëvalueerd in het midden van de subintervallen, dat wil zeggen in de set:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
De (centrale) Riemann-som ziet er als volgt uit:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Omdat de functie f symmetrisch is, is het mogelijk om de som terug te brengen tot slechts 5 termen en het resultaat wordt vermenigvuldigd met twee:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
De functie die in dit voorbeeld wordt gegeven, is niets anders dan de bekende Gauss-bel (genormaliseerd, met gemiddelde gelijk aan nul en standaarddeviatie één). Het gebied onder de curve in het interval voor deze functie staat bekend als 0,6827.
Figuur 5. Oppervlakte onder een Gaussische klok benaderd door een Riemann-som. Bron: F. Zapata.
Dit betekent dat de geschatte oplossing met slechts 10 termen overeenkomt met de exacte oplossing tot op drie decimalen. De procentuele fout tussen de geschatte en de exacte integraal is 0,07%.
Referenties
- Casteleiro, JM en Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrale calculus (geïllustreerde red.). Madrid: ESIC-redactie.
- Unican. Geschiedenis van het concept integraal. Hersteld van: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann sommen. Hersteld van: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemann-som. Hersteld van: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Riemann-integratie. Hersteld van: es.wikipedia.com