- Wat is de som van de kwadraten van twee opeenvolgende getallen?
- Wat is de som van de vierkanten?
- Voorbeelden
- Referenties
Om erachter te komen wat de som is van de kwadraten van twee opeenvolgende getallen , kan een formule worden gevonden waarmee het voldoende is om de betreffende getallen te vervangen om het resultaat te verkrijgen.
Deze formule kan op een algemene manier worden gevonden, dat wil zeggen dat hij kan worden gebruikt voor elk paar opeenvolgende getallen.
Door "opeenvolgende getallen" te zeggen, zegt u impliciet dat beide getallen hele getallen zijn. En met "de vierkanten" verwijst hij naar het kwadraat van elk getal.
Als bijvoorbeeld de getallen 1 en 2 worden beschouwd, zijn hun kwadraten 1² = 1 en 2² = 4, daarom is de som van de kwadraten 1 + 4 = 5.
Aan de andere kant, als de nummers 5 en 6 worden genomen, zijn hun vierkanten 5² = 25 en 6² = 36, waarbij de som van de vierkanten 25 + 36 = 61 is.
Wat is de som van de kwadraten van twee opeenvolgende getallen?
Het doel is nu om te generaliseren wat er in de vorige voorbeelden is gedaan. Om dit te doen, is het nodig om een algemene manier te vinden om een geheel getal en het daaropvolgende gehele getal te schrijven.
Als je naar twee opeenvolgende gehele getallen kijkt, bijvoorbeeld 1 en 2, kun je zien dat 2 kan worden geschreven als 1 + 1. Als de nummers 23 en 24 worden nageleefd, wordt ook geconcludeerd dat 24 kan worden geschreven als 23 + 1.
Voor negatieve gehele getallen kan dit gedrag ook worden geverifieerd. Inderdaad, als -35 en -36 worden beschouwd, kan worden gezien dat -35 = -36 + 1.
Daarom, als een geheel getal "n" wordt gekozen, dan is het gehele getal dat volgt op "n" "n + 1". Er is dus al een relatie gelegd tussen twee opeenvolgende gehele getallen.
Wat is de som van de vierkanten?
Gegeven twee opeenvolgende gehele getallen "n" en "n + 1", dan zijn hun vierkanten "n²" en "(n + 1) ²". Met behulp van de eigenschappen van opmerkelijke producten kan deze laatste term als volgt worden geschreven:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Ten slotte wordt de som van de kwadraten van de twee opeenvolgende getallen gegeven door de uitdrukking:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Als de vorige formule gedetailleerd is, kan worden gezien dat het alleen voldoende is om het kleinste gehele getal "n" te kennen om te weten wat de som van de kwadraten is, dat wil zeggen dat het alleen voldoende is om de kleinste van de twee gehele getallen te gebruiken.
Een ander perspectief van de verkregen formule is: de gekozen getallen worden vermenigvuldigd, vervolgens wordt het verkregen resultaat vermenigvuldigd met 2 en tenslotte wordt 1 opgeteld.
Aan de andere kant is de eerste toevoeging aan de rechterkant een even getal, en het toevoegen van 1 resulteert in een oneven getal. Dit zegt dat het resultaat van het optellen van de vierkanten van twee opeenvolgende getallen altijd een oneven getal zal zijn.
Er kan ook worden opgemerkt dat aangezien twee getallen in het kwadraat worden opgeteld, dit resultaat altijd positief zal zijn.
Voorbeelden
1.- Beschouw de gehele getallen 1 en 2. Het kleinste gehele getal is 1. Met behulp van de vorige formule wordt geconcludeerd dat de som van de kwadraten is: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Wat overeenkomt met de tellingen die in het begin zijn gemaakt.
2.- Als de gehele getallen 5 en 6 worden genomen, is de som van de vierkanten 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, wat ook samenvalt met het resultaat dat aan het begin is verkregen.
3. - Als de gehele getallen -10 en -9 worden gekozen, dan is de som van hun kwadraten: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Laat de gehele getallen in deze mogelijkheid -1 en 0 zijn, dan wordt de som van hun kwadraten gegeven door 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Referenties
- Bouzas, PG (2004). High School Algebra: Cooperative Work in Mathematics. Narcea Editions.
- Cabello, RN (2007). Bevoegdheden en wortels. Publiceer uw boeken.
- Cabrera, VM (1997). Berekening 4000. Redactioneel Progreso.
- Guevara, MH (zd). De set van hele getallen. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Thomson. (2006). De GED passeren: wiskunde. InterLingua Publishing.