OCTAAL SYSTEEM: GESCHIEDENIS, NUMMERINGSSYSTEEM, CONVERSIES - WISKUNDE - 2025

Het octale systeem is een basis-acht (8) positienummersysteem; dat wil zeggen, het bestaat uit acht cijfers, namelijk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7. Daarom kan elk cijfer van een octaal getal een waarde hebben van 0 tot 7. De octale getallen ze zijn gevormd uit binaire getallen.

Dit komt omdat de basis een exacte macht van twee (2) is. Dat wil zeggen, de nummers die tot het octale systeem behoren, worden gevormd wanneer ze worden gegroepeerd in drie opeenvolgende cijfers, gerangschikt van rechts naar links, waardoor hun decimale waarde wordt verkregen.

Geschiedenis

Het octale systeem vindt zijn oorsprong in de oudheid, toen mensen hun handen gebruikten om dieren van acht tot acht te tellen.

Om bijvoorbeeld het aantal koeien in een stal te tellen, begon men met de rechterhand te tellen, waarbij de duim met de pink werd samengevoegd; Om vervolgens het tweede dier te tellen, werd de duim samengevoegd met de wijsvinger, en zo verder met de resterende vingers van elke hand, tot het voltooien van 8.

Er is een mogelijkheid dat in de oudheid het octale nummeringssysteem vóór de komma werd gebruikt om interdigitale spaties te kunnen tellen; dat wil zeggen, tel alle vingers behalve duimen.

Later werd het octale nummeringsysteem opgericht, dat voortkwam uit het binaire systeem, omdat het veel cijfers nodig heeft om slechts één nummer weer te geven; vanaf dat moment zijn er octale en hexagonale systemen gemaakt, die niet zoveel cijfers nodig hebben en gemakkelijk kunnen worden omgezet naar het binaire systeem.

Octaal nummeringssysteem

Het octale systeem bestaat uit acht cijfers die lopen van 0 tot 7. Deze hebben dezelfde waarde als in het geval van het decimale systeem, maar hun relatieve waarde verandert afhankelijk van de positie die ze innemen. De waarde van elke positie wordt gegeven door de machten van basis 8.

De posities van de cijfers in een octaal getal hebben de volgende gewichten:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , octale punt 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Het grootste octale cijfer is 7; bij het tellen in dit systeem wordt dus een positie van een cijfer verhoogd van 0 naar 7. Wanneer 7 is bereikt, wordt het naar 0 gerecycled voor de volgende telling; op deze manier wordt de volgende cijferpositie verhoogd. Om reeksen bijvoorbeeld te tellen, zal het in het octale systeem zijn:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Er is een fundamentele stelling die wordt toegepast op het octale systeem, en deze wordt op de volgende manier uitgedrukt:

In deze uitdrukking staat di voor het cijfer vermenigvuldigd met de macht van basis 8, die de plaatswaarde van elk cijfer aangeeft, op dezelfde manier als het is geordend in het decimale systeem.

U heeft bijvoorbeeld het nummer 543,2. Om het naar het octale systeem te brengen, wordt het als volgt afgebroken:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

We hebben dus 543,2 _q = 354,25 _d . Het subscript q geeft aan dat het een octaal getal is dat ook kan worden weergegeven door het getal 8; en het subscript d verwijst naar het decimale getal, dat ook kan worden weergegeven door het getal 10.

Conversie van octaal naar decimaal systeem

Om een ​​getal van het octale systeem naar het equivalent in het decimale systeem te converteren, vermenigvuldigt u eenvoudig elk octaal cijfer met de plaatswaarde, beginnend van rechts.

voorbeeld 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Voorbeeld 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Conversie van decimaal naar octaal systeem

Een decimaal geheel getal kan worden geconverteerd naar een octaal getal met behulp van de herhaalde deelmethode, waarbij het decimale gehele getal wordt gedeeld door 8 totdat het quotiënt gelijk is aan 0, en de restanten van elke deling vertegenwoordigen het octale getal.

De residuen worden geordend van de laatste naar de eerste; dat wil zeggen, de eerste rest is het minst significante cijfer van het octale getal. Op die manier is het meest significante cijfer de laatste rest.

Voorbeeld

Decimaal getal octaal 266 ₁₀

- Deel het decimale getal 266 door 8 = 266/8 = 33 + rest van 2.

- Deel dan 33 door 8 = 33/8 = 4 + rest van 1.

- Deel 4 door 8 = 4/8 = 0 + rest van 4.

Net als bij de laatste deling wordt een quotiënt kleiner dan 1 verkregen, dit betekent dat het resultaat is gevonden; U hoeft de restanten alleen maar omgekeerd te ordenen, zodanig dat het octale getal van 266 decimaal 412 is, zoals te zien is in de volgende afbeelding:

Conversie van octaal naar binair systeem

Omzetten van octaal naar binair gebeurt door het octale cijfer om te zetten in het equivalente binaire cijfer, bestaande uit drie cijfers. Er is een tabel die laat zien hoe de acht mogelijke cijfers worden omgezet:

Van deze conversies kan elk getal worden gewijzigd van het octale systeem naar binair, bijvoorbeeld om het getal 572 ₈ om te zetten , de equivalenten worden gezocht in de tabel. U moet dus:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Daarom is 572 ₈ in het binaire systeem gelijk aan 10111110.

Omzetten van binair naar octaal

Het proces van het omzetten van binaire gehele getallen naar octale gehele getallen is het omgekeerde van het vorige proces.

Dat wil zeggen, de bits van het binaire getal zijn gegroepeerd in twee groepen van drie bits, beginnend van rechts naar links. Vervolgens wordt de conversie van binair naar octaal gedaan met de bovenstaande tabel.

In sommige gevallen heeft het binaire getal geen groepen van 3 bits; om het af te maken, worden een of twee nullen links van de eerste groep toegevoegd.

Om bijvoorbeeld het binaire getal 11010110 in octaal te veranderen, doet u het volgende:

- Groepen van 3 bits worden gevormd beginnend van rechts (laatste bit):

11010110

- Aangezien de eerste groep onvolledig is, wordt een voorloopnul toegevoegd:

011010110

- De conversie is gemaakt vanaf de tafel:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Het binaire getal 011010110 is dus gelijk aan 326 ₈ .

Omzetten van octaal naar hexadecimaal en vice versa

Om van een octaal getal naar hexadecimaal of van hexadecimaal naar octaal te veranderen, moet het getal eerst naar binair en vervolgens naar het gewenste systeem worden geconverteerd.

Hiervoor is er een tabel waarin elk hexadecimaal cijfer wordt weergegeven met zijn equivalent in het binaire systeem, bestaande uit vier cijfers.

In sommige gevallen heeft het binaire getal geen groepen van 4 bits; om het af te maken, worden een of twee nullen links van de eerste groep toegevoegd

Voorbeeld

Converteer octaal getal 1646 naar hexadecimaal getal:

- Converteer het getal van octaal naar binair

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Dus 1646 ₈ = 1110100110.

- Om van binair naar hexadecimaal te converteren, worden ze eerst geordend in een groep van 4 bits, beginnend van rechts naar links:

11 1010 0110

- De eerste groep wordt aangevuld met nullen, zodat deze 4 bits kan hebben:

0011 1010 0110

- De conversie van binair naar hexadecimaal is voltooid. De equivalenties worden vervangen door middel van de tabel:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Het octale getal 1646 is dus gelijk aan 3A6 in het hexadecimale systeem.

Referenties

1. Bressan, AE (1995). Inleiding tot nummeringsystemen. Argentijnse universiteit van het bedrijf.
2. Harris, JN (1957). Inleiding tot de binaire en octale nummeringsystemen: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Grondbeginselen van digitale schakelingen. Leren Pvt.
4. Peris, XC (2009). Single Operative Systemen.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitale systemen: principes en toepassingen. Pearson Education.