KWADRATISCHE REEKSEN: VOORBEELDEN, REGEL EN OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De kwadratische successies , in wiskundige termen, bestaan ​​uit reeksen van getallen die een bepaalde rekenkundige regel volgen. Het is interessant om deze regel te kennen om de termen van een reeks te bepalen.

Een manier om dit te doen is om het verschil tussen twee opeenvolgende termen te bepalen en te kijken of de verkregen waarde altijd wordt herhaald. Als dit het geval is, wordt er gezegd dat het een normale reeks is.

Nummerreeksen zijn een manier om cijferreeksen te organiseren. Bron: pixabay.com

Maar als het zich niet herhaalt, kunt u proberen het verschil tussen de verschillen te onderzoeken en kijken of deze waarde constant is. Zo ja, dan is het een kwadratische reeks .

Voorbeelden van reguliere reeksen en kwadratische reeksen

De volgende voorbeelden helpen verduidelijken wat tot nu toe is uitgelegd:

Voorbeeld van regelmatige opvolging

Laat de reeks S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Deze reeks, aangeduid met S, is een oneindige reeks van getallen, in dit geval van gehele getallen.

Het is duidelijk dat het een regelmatige reeks is, omdat elke term wordt verkregen door 3 toe te voegen aan de vorige term of element:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Met andere woorden: deze reeks is regelmatig omdat het verschil tussen de volgende term en de vorige een vaste waarde geeft. In het gegeven voorbeeld is deze waarde 3.

De reguliere reeksen die worden verkregen door een vaste hoeveelheid toe te voegen aan de vorige term worden ook wel rekenkundige opeenvolgingen genoemd. En het verschil -constant- tussen opeenvolgende termen wordt de ratio genoemd en wordt aangeduid als R.

Voorbeeld van een niet-regelmatige en kwadratische reeks

Zie nu de volgende volgorde:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Wanneer opeenvolgende verschillen worden berekend, worden de volgende waarden verkregen:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Hun verschillen zijn niet constant, dus kan worden gezegd dat het GEEN regelmatige reeks is.

Als we echter de reeks verschillen beschouwen, hebben we een andere reeks, die wordt aangeduid als S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Deze nieuwe reeks is inderdaad een regelmatige reeks, aangezien elke term wordt verkregen door de vaste waarde R = 2 toe te voegen aan de vorige. Daarom kunnen we bevestigen dat S een kwadratische reeks is.

Algemene regel voor het construeren van een kwadratische reeks

Er is een algemene formule om een ​​kwadratische reeks te construeren:

T _n = EEN ∙ n ² + B ∙ n + C

In deze formule is T _n de term op positie n van de reeks. A, B en C zijn vaste waarden, terwijl n één voor één varieert, dat wil zeggen 1, 2, 3, 4, …

In de reeks S van het vorige voorbeeld A = 1, B = 1 en C = 0. Van daaruit volgt dat de formule die alle termen genereert, is: T _n = n ² + n

Het is te zeggen:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Verschil tussen twee opeenvolgende termen van een kwadratische reeks

T _{n + 1} - T _n = -

Het ontwikkelen van de expressie door opmerkelijk product blijft:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Door het te vereenvoudigen, krijgt u:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ EEN ∙ n + A + B

Dit is de formule die de volgorde van de verschillen S _{Dif geeft} die als volgt kunnen worden geschreven:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Waar duidelijk de volgende term 2 is ∙ Soms de vorige. Dat wil zeggen, de verhouding van de reeks verschillen S _diff is: R = 2 ∙ A.

Problemen met kwadratische reeksen opgelost

Oefening 1

Stel dat de reeks S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Bepaal of:

i) Is het normaal of niet

ii) Is het kwadratisch of niet

iii) Het was kwadratisch, de opeenvolging van verschillen en hun verhouding

Antwoorden

i) Laten we het verschil berekenen tussen de volgende en de vorige termen:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

We kunnen bevestigen dat de reeks S niet regelmatig is, omdat het verschil tussen opeenvolgende termen niet constant is.

ii) De opeenvolging van verschillen is regelmatig, omdat het verschil tussen de termen de constante waarde 2 is. Daarom is de oorspronkelijke reeks S kwadratisch.

iii) We hebben al vastgesteld dat S kwadratisch is, de volgorde van de verschillen is:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} en de verhouding is R = 2.

Oefening 2

Stel dat de reeks S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} uit het vorige voorbeeld, waar werd geverifieerd dat deze kwadratisch is. Bepalen:

i) De formule die de algemene term T _n bepaalt _.

ii) Controleer de derde en vijfde voorwaarden.

iii) De waarde van de tiende termijn.

Antwoorden

i) De algemene formule van T _n is A ∙ n ² + B ∙ n + C. Dan rest het om de waarden van A, B en C te kennen.

De opeenvolging van verschillen heeft verhouding 2. Verder is voor elke kwadratische reeks de verhouding R 2 ∙ A zoals getoond in de vorige secties.

R = 2 ∙ A = 2 wat ons leidt tot de conclusie dat A = 1.

De eerste term van de reeks verschillen S _Dif is 2 en moet voldoen aan A ∙ (2n + 1) + B, met n = 1 en A = 1, dat wil zeggen:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

oplossen voor B krijgen we: B = -1

Dan is de eerste term van S (n = 1) 1 waard, dat wil zeggen: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C.Zoals we al weten dat A = 1 en B = -1, hebben we als substituut:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Als we C oplossen, krijgen we de waarde: C = 1.

Samengevat:

A = 1, B = -1 en C = 1

Dan is de zoveelste term T _n = n ² - n + 1

ii) De derde term T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 en het is geverifieerd. De vijfde T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 die ook wordt geverifieerd.

iii) De tiende term is T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Oefening 3

Volgorde van oefengebieden 3. Bron: eigen uitwerking.

De figuur toont een reeks van vijf figuren. Het rooster vertegenwoordigt de lengte-eenheid.

i) Bepaal de volgorde van de oppervlakte van de figuren.

ii) Laat zien dat het een kwadratische reeks is.

iii) Zoek het gebied van Figuur # 10 (niet getoond).

Antwoorden

i) De reeks S die overeenkomt met de oppervlakte van de reeks figuren is:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) De volgorde die overeenkomt met de opeenvolgende verschillen van de termen van S is:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Omdat het verschil tussen opeenvolgende termen niet constant is, is S geen regelmatige reeks. Het blijft om te weten of het kwadratisch is, waarvoor we opnieuw de opeenvolging van verschillen doen en verkrijgen:

{2, 2, 2, …….}

Aangezien alle termen van de reeks worden herhaald, wordt bevestigd dat S een kwadratische reeks is.

iii) De reeks S _dif is regelmatig en de verhouding R is 2. Met behulp van de bovenstaande vergelijking R = 2 ∙ A blijft het:

2 = 2 ∙ A, wat inhoudt dat A = 1.

De tweede term van de reeks verschillen S _Dif is 4 en de nde term van S _Dif is

A ∙ (2n + 1) + B.

De tweede term heeft n = 2. Bovendien is al vastgesteld dat A = 1, dus met behulp van de vorige vergelijking en substitutie hebben we:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Als we B oplossen, krijgen we: B = -1.

Het is bekend dat de tweede term van S 2 waard is, en dat deze moet voldoen aan de formule van de algemene term met n = 2:

T _n = EEN ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Het is te zeggen

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Er wordt geconcludeerd dat C = 0, dat wil zeggen dat de formule die de algemene term van de reeks S geeft, is:

T _n = 1 ∙ n ^2-1 ∙ n +0 = n ² - n

Nu is de vijfde term geverifieerd:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Figuur # 10, die hier niet is getekend, heeft het gebied dat overeenkomt met de tiende term van de reeks S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Referenties

1. https://www.geogebra.org