- Voorbeelden van optellen van polynomen
- Voeg twee of meer polynomen toe met meer dan één variabele
- Veelterm-opteloefeningen
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing voor
- Referenties
De som van polynomen is de bewerking die bestaat uit het optellen van twee of meer polynomen, wat resulteert in een ander polynoom. Om het uit te voeren, is het nodig om de termen van dezelfde volgorde van elk van de polynomen toe te voegen en de resulterende som aan te geven.
Laten we eerst kort de betekenis van "termen van dezelfde volgorde" bekijken. Elke polynoom bestaat uit optellingen en / of aftrekkingen van termen.
Figuur 1. Om twee polynomen toe te voegen, is het nodig om ze te ordenen en vervolgens de overeenkomstige termen te verminderen. Bron: Pixabay + Wikimedia Commons.
De termen kunnen producten zijn van reële getallen en een of meer variabelen, weergegeven door letters, bijvoorbeeld: 3x 2 en -√5. A 2 bc 3 zijn termen.
Welnu, de termen van dezelfde volgorde zijn die met dezelfde exponent of macht, hoewel ze mogelijk een andere coëfficiënt hebben.
-Voorwaarden van gelijke volgorde zijn: 5x 3 , √2 x 3 en -1 / 2x 3
-Voorwaarden van verschillende orden: -2x -2 , 2xy -1 en √6x 2 en
Het is belangrijk om in gedachten te houden dat alleen termen van dezelfde volgorde kunnen worden opgeteld of afgetrokken, een bewerking die bekend staat als reductie. Anders wordt de som gewoon links aangegeven.
Zodra het concept van termen van dezelfde volgorde is verduidelijkt, worden de polynomen als volgt toegevoegd:
- Bestel de eerste veeltermen om op te tellen, allemaal op dezelfde manier, hetzij oplopend of afnemend, dwz met potenties van laag naar hoog of vice versa.
- Compleet , voor het geval er stroom ontbreekt in de reeks.
- Beperk soortgelijke termen.
- Geef het resulterende bedrag aan.
Voorbeelden van optellen van polynomen
We beginnen met het toevoegen van twee polynomen met een enkele variabele genaamd x, bijvoorbeeld de polynomen P (x) en Q (x) gegeven door:
P (x) = 2x 2 - 5x 4 + 2x –x 5 - 3x 3 +12
Q (x) = x 5 - 25 x + x 2
Door de beschreven stappen te volgen, begint u ze in aflopende volgorde te ordenen, wat de meest gebruikelijke manier is:
P (x) = –x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
Het polynoom Q (x) is niet compleet, het blijkt dat machten met exponenten 4, 3 en 0 ontbreken. Dit laatste is gewoon de onafhankelijke term, degene die geen letter heeft.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Zodra deze stap is voltooid, zijn ze klaar om toe te voegen. U kunt soortgelijke termen toevoegen en vervolgens de som aangeven, of de geordende polynomen onder elkaar plaatsen en met kolommen verkleinen, op deze manier:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
+ x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 –5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
Het is belangrijk op te merken dat wanneer het wordt toegevoegd, het algebraïsch gebeurt, met inachtneming van de regel van tekens, op deze manier 2x + (-25 x) = -23x. Dat wil zeggen, als de coëfficiënten een ander teken hebben, worden ze afgetrokken en het resultaat draagt het teken van het grotere.
Voeg twee of meer polynomen toe met meer dan één variabele
Als het gaat om polynomen met meer dan één variabele, wordt er een gekozen om deze te ordenen. Stel dat u vraagt om toe te voegen:
R (x, y) = 5x 2 - 4y 2 + 8xy - 6y 3
EN:
T (x, y) = ½ x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 en
Een van de variabelen wordt gekozen, bijvoorbeeld x om te bestellen:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6j 3 - 4j 2
T (X, Y) = + X 3 Y + ½ x 2 - 11xy - 6y 2
Onmiddellijk worden de ontbrekende termen ingevuld, volgens welke elk polynoom heeft:
R (X, Y) = 0x 3 Y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (X, Y) = + X 3 Y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2
En jullie zijn allebei klaar om soortgelijke termen te verminderen:
0x 3 jaar + 5x 2 + 8xy - 6j 3 - 4j 2
+ x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2 +
---------------------–
+ x 3 y + 11 / 2x 2 - 3xy - 6j 3 - 10j 2 = R (x, y) + T (x, y)
Veelterm-opteloefeningen
- Oefening 1
Geef in de volgende som van veeltermen de term aan die in de lege ruimte moet komen om de veeltermensom te verkrijgen:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 -14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
Oplossing
Om -6x 5 te verkrijgen is een term in de vorm ax 5 vereist , zodat:
een + 1+ 2 = -6
Dus:
a = -6-1-2 = -9
En de zoekterm is:
-9x 5
-We gaan op dezelfde manier te werk om de rest van de termen te vinden. Hier is die voor exponent 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
De ontbrekende term is: 13x 4 .
-Voor de machten van x 3 is het direct dat de term -9x 3 moet zijn , op deze manier is de coëfficiënt van de kubieke term 0.
-Wat betreft de kwadratische machten: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 en de term is -5x 2 .
-De lineaire term wordt verkregen door middel van a +8-14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5, de ontbrekende term is -5x.
-Tenslotte is de onafhankelijke term: 1-3 + a = -21 → a = -19.
- Oefening 2
Een vlak terrein is omheind zoals weergegeven in de figuur. Zoek een uitdrukking voor:
a) De omtrek en
b) Zijn oppervlakte, uitgedrukt in de aangegeven lengtes:
Figuur 2. Een vlak terrein is omheind met de aangegeven vorm en afmetingen. Bron: F. Zapata.
Oplossing voor
De omtrek wordt gedefinieerd als de som van de zijden en contouren van de figuur. Beginnend in de linker benedenhoek, met de klok mee, hebben we:
Omtrek = y + x + lengte van halve cirkel + z + lengte van diagonaal + z + z + x
De halve cirkel heeft een diameter gelijk aan x. Aangezien de straal de helft van de diameter is, moet u:
Straal = x / 2.
De formule voor de lengte van een volledige omtrek is:
L = 2π x straal
Zo:
Lengte van halve cirkel = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Van zijn kant wordt de diagonaal berekend met de stelling van Pythagoras toegepast op de zijkanten: (x + y) wat de verticale zijde is en z, wat de horizontaal is:
Diagonaal = 1/2
Deze uitdrukkingen worden vervangen door die van de omtrek, om te verkrijgen:
Omtrek = y + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
Gelijke termen worden verminderd, aangezien de toevoeging vereist dat het resultaat zo veel mogelijk wordt vereenvoudigd:
Omtrek = y + + z + z + z + 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z
Oplossing b
Het resulterende gebied is de som van de oppervlakte van de rechthoek, de halve cirkel en de rechthoekige driehoek. De formules voor deze gebieden zijn:
- Rechthoek : basis x hoogte
- Halve cirkel : ½ π (straal) 2
- Driehoek : basis x hoogte / 2
Rechthoekig gebied
(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz
Halve cirkel gebied
½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Driehoek
½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy
Volledige oppervlakte
Om het totale oppervlak te vinden, worden de uitdrukkingen die voor elk deelgebied zijn gevonden, toegevoegd:
Totale oppervlakte = x 2 + xz + yz + x + (π x 2 /8) + zx + ½ ½ zy
En tot slot worden alle termen die vergelijkbaar zijn, verminderd:
Totale oppervlakte = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx
Referenties
- Baldor, A. 1991. Algebra. Redactioneel Cultureel Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wiskunde is leuk Polynomen optellen en aftrekken. Hersteld van: mathsisfun.com.
- Monterey Institute. Polynomen optellen en aftrekken. Hersteld van: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Algebra van polynomen. Hersteld van: math.berkeley.edu.