TELESCOPISCHE SOMMATIE: HOE HET WORDT OPGELOST EN OEFENINGEN WORDEN OPGELOST - WISKUNDE - 2024

De som telescopisch is een numerieke reeks van vertakkingen. Het behandelt het optellen van elementen van een beginwaarde tot "n" van uitdrukkingen waarvan het argument aan een van de volgende patronen voldoet:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Zoals ook:

Bron: Pixabay.com

Ze vertegenwoordigen een optelsom van elementen die, wanneer ze worden ontwikkeld, onderhevig zijn aan annuleringen van tegengestelde termen. Het mogelijk maken om de volgende gelijkheid voor telescopische sommaties te definiëren:

De naam komt van de relatie met het uiterlijk van een klassieke telescoop, die kan worden in- en uitgeklapt, waarbij de afmeting met name verandert. Op dezelfde manier kunnen telescopische sommaties, die oneindig van aard zijn, worden samengevat in de vereenvoudigde uitdrukking:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstratie

Bij het ontwikkelen van de sommatie van termen is het elimineren van factoren vrij duidelijk. Waar voor elk van de gevallen tegenovergestelde elementen verschijnen in de volgende iteratie.

Het eerste geval, (F _x - F _{x + 1} ), wordt als voorbeeld genomen , aangezien het proces homoloog werkt voor (F _{x + 1} –F _x ).

Bij het ontwikkelen van de eerste 3 waarden {1, 2, 3} wordt de trend van vereenvoudiging waargenomen

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Waar bij het uitdrukken van de som van de beschreven elementen:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Opgemerkt wordt dat de termen F ₂ en F ₃ samen met hun tegenstellingen worden beschreven, waardoor hun vereenvoudiging onvermijdelijk is. Op dezelfde manier wordt opgemerkt dat de termen F ₁ en F ₄ worden gehandhaafd.

Als de som is gemaakt van x = 1 tot x = 3, betekent dit dat het element F ₄ overeenkomt met de generieke term F _{n + 1.}

Dus gelijkheid aantonen:

Hoe wordt het opgelost?

Het doel van de telescopische sommaties is om het werk te vergemakkelijken, zodat het niet nodig is om een ​​oneindig aantal termen te ontwikkelen, of om een ​​te lange keten van bijlagen te vereenvoudigen.

Voor de oplossing is het alleen nodig om de termen F ₁ en F _{n + 1} te evalueren . Deze eenvoudige vervangingen vormen het uiteindelijke resultaat van de sommatie.

De totaliteit van de termen zal niet worden uitgedrukt en wordt alleen nodig voor de demonstratie van het resultaat, maar niet voor het normale berekeningsproces.

Het belangrijkste is om de convergentie van de nummerreeksen op te merken. Soms wordt het sommatie-argument niet telescopisch uitgedrukt. In deze gevallen is de implementatie van alternatieve factoringmethoden heel gebruikelijk.

De kenmerkende factorisatiemethode bij telescopische optellingen is die van enkelvoudige breuken. Dit gebeurt wanneer een originele breuk wordt ontleed in een som van verschillende breuken, waarbij het telescopische patroon (F _x - F _{x + 1} ) of (F _{x + 1} - F _x ) kan worden waargenomen .

Ontleding in eenvoudige breuken

Om de convergentie van numerieke reeksen te verifiëren, is het heel gebruikelijk om rationele uitdrukkingen te transformeren met de eenvoudige breukmethode. Het doel is om de plot in de vorm van een telescopische sommatie te modelleren.

De volgende gelijkheid vertegenwoordigt bijvoorbeeld een ontleding in enkelvoudige breuken:

Bij het ontwikkelen van de nummerreeks en het toepassen van de bijbehorende eigenschappen, heeft de uitdrukking de volgende vorm:

Waar de telescopische vorm wordt gewaardeerd (F _x - F _{x + 1} ).

De procedure is vrij intuïtief en bestaat uit het vinden van de waarden van de teller die, zonder de gelijkheid te verbreken, ons in staat stellen de producten in de noemer te scheiden. De vergelijkingen die ontstaan ​​bij het bepalen van deze waarden, worden verhoogd volgens vergelijkingen tussen beide zijden van de gelijkheid.

Deze procedure wordt stap voor stap gevolgd bij de ontwikkeling van oefening 2.

Geschiedenis

Het is tamelijk onzeker om het historische moment waarop de telescopische sommaties werden gepresenteerd te kunnen bepalen. De implementatie ervan begint echter in de zeventiende eeuw te worden gezien, in de studies van numerieke reeksen uitgevoerd door Leibniz en Huygens.

Beide wiskundigen die de sommaties van driehoeksgetallen onderzoeken, beginnen trends op te merken in de convergentie van bepaalde series opeenvolgende elementen. Maar nog interessanter is het begin van het modelleren van deze uitdrukkingen, in elementen die niet noodzakelijk op elkaar volgen.

In feite is de uitdrukking die eerder werd gebruikt om naar eenvoudige breuken te verwijzen:

Het werd geïntroduceerd door Huygens en trok meteen de aandacht van Leibniz. Wie in de loop van de tijd de convergentie naar de waarde 2 kon waarnemen. Zonder het te weten implementeerde hij het telescopische sommatieformaat.

Opdrachten

Oefening 1

Bepaal naar welke term de volgende som convergeert:

Bij het handmatig ontwikkelen van de som wordt het volgende patroon waargenomen:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Waar de factoren van 2 ⁴ tot 2 ¹⁰ positieve en negatieve delen vertonen, waardoor hun annulering duidelijk wordt. De enige factoren die niet worden vereenvoudigd, zijn de eerste "2 ³ " en de laatste "2 ¹¹ ".

Op deze manier wordt bij het implementeren van het telescopische sommatiecriterium het volgende verkregen:

Oefening 2

Transformeer het argument in een sommatie van het telescopische type en definieer de convergentie van de reeks:

Zoals aangegeven in de verklaring, is het eerste wat je moet doen, ontleden in eenvoudige breuken, om het argument opnieuw te formuleren en het op een telescopische manier uit te drukken.

U moet 2 breuken vinden waarvan de noemers respectievelijk "n" en "n + 1" zijn, waarbij de onderstaande methode de waarden van de teller moet verkrijgen die aan de gelijkheid voldoen.

We gaan verder met het definiëren van de waarden van A en B. Tel eerst de breuken op.

Vervolgens worden de noemers vereenvoudigd en wordt een lineaire vergelijking gemaakt.

In de volgende stap wordt de uitdrukking aan de rechterkant bediend, totdat een patroon wordt bereikt dat vergelijkbaar is met de "3" aan de linkerkant.

Om de te gebruiken vergelijkingen te definiëren, moeten de resultaten van beide zijden van de gelijkheid worden vergeleken. Met andere woorden, aan de linkerkant worden geen waarden van de variabele n waargenomen, op deze manier zal A + B gelijk moeten zijn aan nul.

A + B = 0; A = -B

Aan de andere kant zal de constante waarde A gelijk moeten zijn aan de constante waarde 3.

A = 3

Dus.

A = 3 en B = -3

Zodra de tellerwaarden voor de enkelvoudige breuken al zijn gedefinieerd, wordt de sommatie aangepast.

Waar de generieke vorm van telescopische sommatie al is bereikt. De telescopische serie is ontwikkeld.

Waar bij delen door een zeer groot getal het resultaat steeds dichter bij nul komt, waarbij de convergentie van de reeks naar de waarde 3 wordt waargenomen.

Dit type series kon op geen enkele andere manier worden opgelost, vanwege het oneindige aantal iteraties die het probleem definiëren. Deze methode, samen met vele andere, kadert echter de studietak van numerieke reeksen, waarvan het doel is om de convergentiewaarden te bepalen of de divergentie van genoemde reeksen te definiëren.

Referenties

1. Oneindig kleine rekenlessen. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Integrale calculus: sequenties en reeks functies. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 oktober. 2014.
3. Een cursus in calculus en echte analyse. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 juni. 2006.
4. Oneindige reeks. Tomlinson Fort. De Clarendon Press, 1930.
5. Elementen van de theorie van oneindige processen. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.