INJECTIEVE FUNCTIE: WAT HET IS, WAAR HET VOOR IS EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

Een injectieve functie is elke relatie van elementen van het domein met een enkel element van het codomein. Ze staan ook bekend als een één-op-één- functie ( 1 - 1 ) en maken deel uit van de classificatie van functies met betrekking tot de manier waarop hun elementen met elkaar in verband staan.

Een element van het codomein kan alleen de afbeelding zijn van een enkel element van het domein, op deze manier kunnen de waarden van de afhankelijke variabele niet worden herhaald.

Bron: auteur.

Een duidelijk voorbeeld is het groeperen van mannen met banen in groep A en in groep B alle bazen. Functie F is degene die elke werknemer met zijn baas verbindt. Als elke werknemer via F met een andere baas wordt geassocieerd , dan is F een injectieve functie .

Om een functie- injectief te beschouwen , moet aan het volgende worden voldaan:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Dit is de algebraïsche manier om te zeggen. Voor elke x _{1 die} verschilt van x ₂ hebben we een F (x ₁ ) die verschilt van F (x ₂ ).

Waar zijn injectiefuncties voor?

Injectiviteit is een eigenschap van continue functies, aangezien ze zorgen voor de toewijzing van afbeeldingen voor elk element van het domein, een essentieel aspect in de continuïteit van een functie.

Bij het tekenen van een lijn parallel aan de X- as op de grafiek van een injectieve functie, mag de grafiek slechts op één punt worden aangeraakt, ongeacht op welke hoogte of grootte van Y de lijn wordt getekend. Dit is de grafische manier om de injectiviteit van een functie te testen.

Een andere manier om te testen of een functie injectief is, is door de onafhankelijke variabele X op te lossen in termen van de afhankelijke variabele Y.Vervolgens moet worden geverifieerd of het domein van deze nieuwe uitdrukking de reële getallen bevat, op hetzelfde moment als voor elke waarde van Y er is een enkele waarde van X.

De functies of ordenrelaties gehoorzamen onder meer aan de notatie F: D _f → C _f

Wat wordt gelezen F dat van D _f naar C _{f gaat}

Waar de functie F betrekking heeft op de sets Domain en Codomain. Ook wel bekend als de startset en de afwerkingsset.

Het domein D _f bevat de toegestane waarden voor de onafhankelijke variabele. Het codomein C _f bestaat uit alle waarden die beschikbaar zijn voor de afhankelijke variabele. De elementen van C _f gerelateerd aan D _f staan ​​bekend als het bereik van de functie (R _f ).

Functieconditionering

Soms kan een functie die niet injectief is, aan bepaalde voorwaarden worden onderworpen. Deze nieuwe omstandigheden kunnen het een injectieve functie maken. Allerlei wijzigingen aan het domein en het codomein van de functie zijn geldig, waarbij het doel is om de injectiviteitseigenschappen in de bijbehorende relatie te vervullen.

Voorbeelden van injectiefuncties met opgeloste oefeningen

voorbeeld 1

Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door de lijn F (x) = 2x - 3

EEN:

Bron: auteur.

Opgemerkt wordt dat er voor elke waarde van het domein een afbeelding in het codomain staat. Deze afbeelding is uniek, wat F een injectieve functie maakt. Dit geldt voor alle lineaire functies (functies waarvan de hoogste graad van de variabele één is).

Bron: auteur.

Voorbeeld 2

Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door F (x) = x ² +1

Bron: auteur

Bij het tekenen van een horizontale lijn wordt opgemerkt dat de grafiek meer dan eens wordt gevonden. Hierdoor is de functie F niet injectief zolang R → R is gedefinieerd

We gaan verder met het conditioneren van het domein van de functie:

F: R ⁺ U {0} → R

Bron: auteur

Nu neemt de onafhankelijke variabele geen negatieve waarden aan, op deze manier worden herhaalde resultaten vermeden en is de functie F: R ⁺ U {0} → R gedefinieerd door F (x) = x ² + 1 injectief .

Een andere homologe oplossing zou zijn om het domein naar links te beperken, dat wil zeggen om de functie te beperken tot alleen negatieve en nulwaarden.

We gaan verder met het conditioneren van het domein van de functie

F: R ^- U {0} → R

Bron: auteur

Nu neemt de onafhankelijke variabele geen negatieve waarden aan, op deze manier worden herhaalde resultaten vermeden en is de functie F: R ^- U {0} → R gedefinieerd door F (x) = x ² + 1 injectief .

Goniometrische functies hebben golfachtig gedrag, waarbij het heel gebruikelijk is om herhalingen van waarden in de afhankelijke variabele te vinden. Door specifieke conditionering, gebaseerd op voorkennis van deze functies, kunnen we het domein verkleinen om te voldoen aan de voorwaarden van injectiviteit.

Voorbeeld 3

Laat de functie F: → R worden gedefinieerd door F (x) = Cos (x)

In het interval varieert de cosinusfunctie zijn resultaten tussen nul en één.

Bron: auteur.

Zoals te zien is in de grafiek. Het begint vanaf nul bij x = - π / 2 en bereikt dan een maximum bij nul. Het is na x = 0 dat de waarden beginnen te herhalen, totdat ze terugkeren naar nul bij x = π / 2. Op deze manier is bekend dat F (x) = Cos (x) niet injectief is voor het interval.

Bij het bestuderen van de grafiek van de functie F (x) = Cos (x) , worden intervallen waargenomen waarbij het gedrag van de curve zich aanpast aan de injectiviteitscriteria. Zoals het interval

Waar de functie varieert, resulteert van 1 tot -1, zonder een waarde in de afhankelijke variabele te herhalen.

Op deze manier wordt de functie functie F: → R gedefinieerd door F (x) = Cos (x). Het is injectief

Er zijn niet-lineaire functies waarbij vergelijkbare gevallen voorkomen. Voor uitdrukkingen van rationele aard, waarbij de noemer ten minste één variabele bevat, zijn er beperkingen die de injectiviteit van de relatie verhinderen.

Voorbeeld 4

Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door F (x) = 10 / x

De functie is gedefinieerd voor alle reële getallen, behalve {0} die een onbepaaldheid heeft (deze kan niet worden gedeeld door nul) .

Als de afhankelijke variabele de nul nadert van links, neemt deze zeer grote negatieve waarden aan, en onmiddellijk na nul nemen de waarden van de afhankelijke variabele grote positieve waarden aan.

Deze verstoring maakt de uitdrukking F: R → R gedefinieerd door F (x) = 10 / x

Wees niet injectief.

Zoals te zien is in de voorgaande voorbeelden, dient het uitsluiten van waarden in het domein om deze onbepaaldheden te "herstellen". We gaan verder met het uitsluiten van nul van het domein, waarbij de start- en eindsets als volgt worden gedefinieerd:

R - {0} → R

Waar R - {0} de reële getallen symboliseert, behalve voor een set waarvan het enige element nul is.

Op deze manier is de uitdrukking F: R - {0} → R gedefinieerd door F (x) = 10 / x injectief.

Voorbeeld 5

Laat de functie F: → R worden gedefinieerd door F (x) = Sen (x)

In het interval varieert de sinusfunctie zijn resultaten tussen nul en één.

Bron: auteur.

Zoals te zien is in de grafiek. Het begint vanaf nul bij x = 0 en bereikt dan een maximum bij x = π / 2. Het is na x = π / 2 dat de waarden zich herhalen, totdat ze terugkeren naar nul bij x = π. Op deze manier is bekend dat F (x) = Sen (x) niet injectief is voor het interval.

Bij het bestuderen van de grafiek van de functie F (x) = Sen (x) , worden intervallen waargenomen waarbij het gedrag van de curve zich aanpast aan de injectiviteitscriteria. Zoals het interval

Waar de functie varieert, resulteert van 1 tot -1, zonder een waarde in de afhankelijke variabele te herhalen.

Op deze manier wordt de functie F: → R gedefinieerd door F (x) = Sen (x). Het is injectief

Voorbeeld 6

Controleer of de functie F: → R gedefinieerd door F (x) = Tan (x)

F: → R gedefinieerd door F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = 7x + 2

Referenties

1. Inleiding tot logica en kritisch denken. Merrilee H. Salmon. Universiteit van Pittsburgh
2. Problemen bij wiskundige analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universiteit van Wroclaw. Polen.
3. Elementen van abstracte analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Afdeling wiskunde. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Inleiding tot de logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Universiteit krant.
5. Principes van wiskundige analyse. Enrique Linés Escardó. Redactioneel Reverté S. A 1991. Barcelona Spanje.