ANALYTISCHE MEETKUNDE: WAT HET BESTUDEERT, GESCHIEDENIS, TOEPASSINGEN - WISKUNDE - 2024

De analytische geometrie bestudeert lijnen en geometrische vormen door elementaire algebra-technieken en wiskundige analyse toe te passen in een bepaald coördinatensysteem.

Bijgevolg is analytische geometrie een tak van de wiskunde die alle gegevens van geometrische figuren in detail analyseert, dat wil zeggen het volume, de hoeken, het gebied, de snijpunten, hun afstanden, onder andere.

Het fundamentele kenmerk van analytische geometrie is dat het de weergave van geometrische figuren door middel van formules mogelijk maakt.

De omtrekken worden bijvoorbeeld weergegeven door polynoomvergelijkingen van de tweede graad, terwijl de lijnen worden uitgedrukt door polynoomvergelijkingen van de eerste graad.

Analytische meetkunde ontstond in de zeventiende eeuw vanwege de behoefte om antwoorden te bieden op problemen die tot nu toe geen oplossing hadden. De hoogste vertegenwoordigers waren René Descartes en Pierre de Fermat.

Tegenwoordig noemen veel auteurs het een revolutionaire creatie in de geschiedenis van de wiskunde, aangezien het het begin van de moderne wiskunde vertegenwoordigt.

Geschiedenis van analytische meetkunde

De term analytische meetkunde ontstond in Frankrijk in de zeventiende eeuw vanwege de behoefte om antwoorden te bieden op problemen die niet konden worden opgelost door algebra en meetkunde afzonderlijk te gebruiken, maar de oplossing lag in het gecombineerd gebruik van beide.

Belangrijkste vertegenwoordigers van analytische meetkunde

Tijdens de zeventiende eeuw deden twee Fransen bij toeval onderzoek dat op de een of andere manier eindigde in het creëren van analytische meetkunde. Deze mensen waren Pierre de Fermat en René Descartes.

Momenteel wordt aangenomen dat René Descartes de maker van analytische meetkunde was. Dit komt door het feit dat hij zijn boek vóór Fermat publiceerde en ook diepgaand met Descartes over het onderwerp analytische meetkunde.

Zowel Fermat als Descartes ontdekten echter dat lijnen en geometrische figuren konden worden uitgedrukt door vergelijkingen en vergelijkingen konden worden uitgedrukt als lijnen of geometrische figuren.

Volgens de ontdekkingen die de twee hebben gedaan, kan worden gezegd dat beide de makers zijn van analytische meetkunde.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat was een Franse wiskundige die werd geboren in 1601 en stierf in 1665. Tijdens zijn leven bestudeerde hij de geometrie van Euclides, Apollonius en Pappus, om de toen bestaande meetproblemen op te lossen.

Later hebben deze studies geleid tot het creëren van geometrie. Ze kwamen uiteindelijk tot uiting in zijn boek "Inleiding tot vlakke en vaste plaatsen" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), dat 14 jaar na zijn dood in 1679 werd gepubliceerd.

Pierre de Fermat paste analytische meetkunde toe op Apollonius 'stellingen over geometrische plaatsen in 1623. Hij was ook de eerste die analytische geometrie toepaste op de driedimensionale ruimte.

Rene Descartes

Ook bekend als Cartesius, was hij een wiskundige, natuurkundige en filosoof die op 31 maart 1596 in Frankrijk werd geboren en stierf in 1650.

René Descartes publiceerde in 1637 zijn boek "Verhandeling over de methode om de rede correct te leiden en de waarheid te zoeken in de wetenschappen", beter bekend als "De methode" en van daaruit werd de term analytische meetkunde in de wereld geïntroduceerd. Een van de bijlagen was "Geometrie".

Fundamentele elementen van analytische meetkunde

Analytische meetkunde bestaat uit de volgende elementen:

Het Cartesiaans coördinatensysteem

Dit systeem is vernoemd naar René Descartes.

Hij was het niet die het noemde, noch degene die het Cartesiaanse coördinatensysteem voltooide, maar hij was degene die sprak over coördinaten met positieve getallen waardoor toekomstige geleerden het konden voltooien.

Dit systeem is samengesteld uit het rechthoekige coördinatensysteem en het polaire coördinatensysteem.

Rechthoekige coördinatensystemen

Rechthoekige coördinatensystemen worden het vlak genoemd dat wordt gevormd door het volgen van twee getallenlijnen loodrecht op elkaar, waarbij het afsnijpunt samenvalt met het gemeenschappelijke nulpunt.

Dan zou dit systeem bestaan ​​uit een horizontale lijn en een verticale lijn.

De horizontale lijn is de X-as of de abscis-as. De verticale lijn zou de Y-as of de ordinaatas zijn.

Polair coördinatensysteem

Dit systeem is verantwoordelijk voor het verifiëren van de relatieve positie van een punt ten opzichte van een vaste lijn en tot een vast punt op de lijn.

Cartesiaanse vergelijking van de lijn

Deze vergelijking wordt verkregen uit een lijn wanneer twee punten bekend zijn waardoor deze passeert.

Rechte lijn

Het is er een die niet afwijkt en daarom geen bochten of hoeken heeft.

Kegelsneden

Het zijn de curven die worden gedefinieerd door de lijnen die door een vast punt gaan en door de punten van een curve.

De ellips, omtrek, parabool en hyperbool zijn kegelvormige krommen. Elk van hen wordt hieronder beschreven.

Omtrek

Omtrek wordt de gesloten vlakkromme genoemd die wordt gevormd door alle punten van het vlak die op gelijke afstand van een binnenpunt liggen, dat wil zeggen vanaf het midden van de omtrek.

Gelijkenis

Het is de meetkundige plaats van de punten in het vlak die op gelijke afstand van een vast punt (focus) en een vaste lijn (directrix) liggen. Dus de directrice en de focus bepalen de parabool.

De parabool kan worden verkregen als een doorsnede van een kegelvormig omwentelingsoppervlak door een vlak evenwijdig aan een generatrix.

Ovaal

De gesloten curve die een punt beschrijft wanneer het in een vlak beweegt, wordt ellips genoemd op een zodanige manier dat de som van de afstanden tot twee (2) vaste punten (brandpunten genoemd) constant is.

Hyperbool

Hyperbool wordt de curve genoemd die wordt gedefinieerd als de meetkundige plaats van de punten in het vlak, waarvoor het verschil tussen de afstanden van twee vaste punten (brandpunten) constant is.

De hyperbool heeft een symmetrieas die door de brandpunten gaat, de brandpuntsas genoemd. Het heeft ook een andere, de middelloodlijn van het segment met de vaste punten aan de uiteinden.

Toepassingen

Er zijn veel toepassingen van analytische meetkunde in verschillende gebieden van het dagelijks leven. We kunnen bijvoorbeeld de parabool, een van de fundamentele elementen van analytische meetkunde, vinden in veel van de tools die tegenwoordig dagelijks worden gebruikt. Enkele van deze tools zijn als volgt:

Schotelantenne

Parabolische antennes hebben een reflector die wordt gegenereerd als gevolg van een parabool die rond de as van de antenne draait. Het oppervlak dat als gevolg van deze actie wordt gegenereerd, wordt een paraboloïde genoemd.

Dit vermogen van de paraboloïde wordt de optische eigenschap of reflectie-eigenschap van een parabool genoemd, en dankzij dit is het mogelijk dat de paraboloïde de elektromagnetische golven weerkaatst die hij ontvangt van het voedingsmechanisme waaruit de antenne bestaat.

Hangende bruggen

Wanneer een touw een gewicht draagt ​​dat homogeen is, maar tegelijkertijd aanzienlijk groter is dan het gewicht van het touw zelf, zal het resultaat een parabool zijn.

Dit principe is fundamenteel voor de constructie van hangbruggen, die meestal worden ondersteund door brede staalkabelconstructies.

Het principe van de parabool in hangbruggen is gebruikt in constructies zoals de Golden Gate Bridge, gelegen in de stad San Francisco, in de Verenigde Staten, of de Grote Brug van de Akashi Strait, die zich in Japan bevindt en het eiland van Awaji met Honshū, het hoofdeiland van dat land.

Astronomische analyse

Analytische meetkunde heeft ook zeer specifieke en beslissende toepassingen gehad op het gebied van astronomie. In dit geval is het element van de analytische geometrie dat centraal staat de ellips; De bewegingswet van de planeten van Johannes Kepler weerspiegelt dit.

Kepler, een Duitse wiskundige en astronoom, stelde vast dat de ellips de curve was die het beste bij de beweging van Mars paste; Hij had eerder het door Copernicus voorgestelde circulaire model getest, maar tijdens zijn experimenten concludeerde hij dat de ellips diende om een ​​baan te tekenen die perfect leek op die van de planeet die hij bestudeerde.

Dankzij de ellips kon Kepler bevestigen dat de planeten in elliptische banen bewogen; deze overweging was de verklaring van de zogenaamde tweede wet van Kepler.

Door deze ontdekking, later verrijkt door de Engelse natuurkundige en wiskundige Isaac Newton, was het mogelijk om de baanbewegingen van de planeten te bestuderen en de kennis te vergroten die bestond over het universum waarvan we deel uitmaken.

Cassegrain-telescoop

De Cassegrain-telescoop is vernoemd naar zijn uitvinder, de in Frankrijk geboren natuurkundige Laurent Cassegrain. In deze telescoop worden de principes van de analytische geometrie gebruikt omdat deze voornamelijk uit twee spiegels bestaat: de eerste is concaaf en parabolisch, en de tweede wordt gekenmerkt door convex en hyperbolisch.

Door de locatie en aard van deze spiegels kan het defect dat bekend staat als sferische aberratie niet plaatsvinden; Dit defect voorkomt dat lichtstralen worden gereflecteerd in het brandpunt van een bepaalde lens.

De Cassegrain-telescoop is erg handig voor planetaire observatie, maar ook vrij veelzijdig en gemakkelijk te gebruiken.

Referenties

1. Analytische meetkunde. Opgehaald op 20 oktober 2017, via britannica.com
2. Analytische meetkunde. Opgehaald op 20 oktober 2017, via encyclopediafmath.org
3. Analytische meetkunde. Opgehaald op 20 oktober 2017, via khancademy.org
4. Analytische meetkunde. Opgehaald op 20 oktober 2017, via wikipedia.org
5. Analytische meetkunde. Opgehaald op 20 oktober 2017, van whitman.edu
6. Analytische meetkunde. Opgehaald op 20 oktober 2017, via stewartcalculus.com
7. Vlakke analytische geometrie.Opgehaald op 20 oktober 2017