Een surjectieve functie is elke relatie waarbij elk element dat tot het codomein behoort een afbeelding is van ten minste één element van het domein. Ze worden ook wel een envelopfunctie genoemd en maken deel uit van de classificatie van functies met betrekking tot de manier waarop hun elementen met elkaar in verband staan.

Bijvoorbeeld een functie F: A → B gedefinieerd door F (x) = 2x

Welke wordt gelezen " F die van A naar B gaat, gedefinieerd door F (x) = 2x"

U moet de start- en eindset A en B definiëren .

A: {1, 2, 3, 4, 5} De waarden of afbeeldingen die elk van deze elementen zal opleveren wanneer ze worden geëvalueerd in F , zijn nu de elementen van het codomein.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Zo vormt de set B: {2, 4, 6, 8, 10}

Geconcludeerd kan dan worden dat:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} gedefinieerd door F (x) = 2x Het is een surjectieve functie

Elk element van het codomein moet het resultaat zijn van ten minste één bewerking van de onafhankelijke variabele via de functie in kwestie. Er is geen beperking van afbeeldingen, een element van het codomein kan een afbeelding zijn van meer dan één element van het domein en toch een surjectieve functie proberen .

In de afbeelding worden 2 voorbeelden met surjectieve functies getoond .

Bron: auteur

In het eerste wordt opgemerkt dat de afbeeldingen naar hetzelfde element kunnen worden verwezen, zonder de surjectiviteit van de functie in gevaar te brengen .

In het tweede zien we een rechtvaardige verdeling tussen domein en afbeeldingen. Dit geeft aanleiding tot de bijectieve functie , waarbij aan de criteria van injectieve functie en surjectieve functie moet worden voldaan .

Een andere methode om surjectieve functies te identificeren , is om te verifiëren of het codomain gelijk is aan de rangschikking van de functie. Dit betekent dat als de aankomstset gelijk is aan de afbeeldingen die door de functie worden geleverd bij het evalueren van de onafhankelijke variabele, de functie surjectief is.

Eigendommen

Om een functie als surjectief te beschouwen , moet aan het volgende zijn voldaan:

Laat F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E een ℮ D _f / F (een) = b

Dit is de algebraïsche manier om vast te stellen dat voor elke "b" die tot C _f behoort, er een "a" is die tot D _f behoort , zodat de functie F geëvalueerd in "a" gelijk is aan "b".

Surjectiviteit is een eigenaardigheid van functies, waarbij het codomein en bereik vergelijkbaar zijn. De elementen die in de functie worden geëvalueerd, vormen dus de aankomstset.

Functieconditionering

Soms kan een functie die niet surjectief is, aan bepaalde voorwaarden worden onderworpen. Deze nieuwe omstandigheden kunnen het een surjectieve functie maken.

Allerlei wijzigingen aan het domein en het codomein van de functie zijn geldig, waarbij het doel is om de surjectiviteitseigenschappen in de bijbehorende relatie te vervullen.

Voorbeelden: opgeloste oefeningen

Om aan de voorwaarden van surjectiviteit te voldoen , moeten verschillende conditioneringstechnieken worden toegepast, dit om ervoor te zorgen dat elk element van het codomein binnen de reeks afbeeldingen van de functie valt.

Oefening 1

• Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door de lijn F (x) = 8 - x

EEN:

Bron: auteur

In dit geval beschrijft de functie een ononderbroken lijn, die alle reële getallen in zowel het domein als het bereik bevat. Aangezien het bereik van de functie R _f gelijk is aan het codomein R kan worden geconcludeerd dat:

F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = 8 - x is een surjectieve functie.

Dit geldt voor alle lineaire functies (functies waarvan de hoogste graad van de variabele één is).

Oefening 2

• Bestudeer de functie F: R → R gedefinieerd door F (x) = x ² : Bepaal of het een surjectieve functie is . Zo niet, toon dan de voorwaarden die nodig zijn om het surjectief te maken.

Bron: auteur

Het eerste waar u rekening mee moet houden, is het codomein van F , dat is samengesteld uit de reële getallen R. De functie kan geen negatieve waarden opleveren, waardoor negatieve reële getallen worden uitgesloten van de mogelijke afbeeldingen.

Conditionering van het codomein aan het interval. Het wordt vermeden om elementen van het codomain los te laten via F.

De afbeeldingen worden herhaald voor paren elementen van de onafhankelijke variabele, zoals x = 1 en x = - 1. Maar dit heeft alleen invloed op de injectiviteit van de functie, wat geen probleem is voor deze studie.

Op deze manier kan worden geconcludeerd dat:

F: R → . Dit interval moet het codomain conditioneren om de surjectiviteit van de functie te bereiken.

F: R → gedefinieerd door F (x) = Sen (x) Het is een surjectieve functie

F: R → gedefinieerd door F (x) = Cos (x) Het is een surjectieve functie

Oefening 4

• Bestudeer de functie

F :) .push ({});

Bron: auteur

De functie F (x) = ± √x heeft de bijzonderheid dat het 2 afhankelijke variabelen definieert bij elke waarde van "x". Dat wil zeggen, de reeks ontvangt 2 elementen voor elke die in het domein is gemaakt. Voor elke waarde van "x" moet een positieve en een negatieve waarde worden geverifieerd.

Bij het observeren van de startset wordt opgemerkt dat het domein al is beperkt, dit om de onbepaaldheden te vermijden die worden geproduceerd bij het evalueren van een negatief getal binnen een even wortel.

Bij het controleren van het bereik van de functie wordt opgemerkt dat elke waarde van het codomein tot het bereik behoort.

Op deze manier kan worden geconcludeerd dat:

F: [0, ∞ ) → R gedefinieerd door F (x) = ± √x Het is een surjectieve functie

Oefening 4

• Bestudeer de functie F (x) = Ln x geef aan of het een surjectieve functie is . Conditioneer de aankomst- en vertrekreeksen zodat deze passen bij de surjectiviteitscriteria.

Bron: auteur

Zoals weergegeven in de grafiek, wordt de functie F (x) = Ln x gedefinieerd voor waarden van "x" groter dan nul. Terwijl de waarden van "en" of de afbeeldingen elke echte waarde kunnen aannemen.

Op deze manier kunnen we het domein van F (x) = beperken tot het interval (0, ∞ )

Zolang het bereik van de functie kan worden behouden als de reeks reële getallen R.

Gezien dit, kan worden geconcludeerd dat:

F: [0, ∞ ) → R gedefinieerd door F (x) = Ln x Het is een surjectieve functie

Oefening 5

• Bestudeer de absolute waardefunctie F (x) = - x - en wijs de aankomst- en vertrekverzamelingen aan die voldoen aan de surjectiviteitscriteria.

Bron: auteur

Het domein van de functie wordt vervuld voor alle reële getallen R. Op deze manier moet de enige conditionering worden uitgevoerd in het codomein, rekening houdend met het feit dat de functie absolute waarde alleen positieve waarden aanneemt.

We gaan verder met het vaststellen van het codomain van de functie gelijk aan de rang van dezelfde

[0, ∞ )

Nu kan worden geconcludeerd dat:

F: [0, ∞ ) → R gedefinieerd door F (x) = - x - Het is een surjectieve functie

Voorgestelde oefeningen

1. Controleer of de volgende functies surjectief zijn:

• F: (0, ∞ ) → R gedefinieerd door F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R gedefinieerd door F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) gedefinieerd door F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R gedefinieerd door F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R gedefinieerd door F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R gedefinieerd door F (x) = 1 / x

Referenties

1. Inleiding tot logica en kritisch denken. Merrilee H. Salmon. Universiteit van Pittsburgh
2. Problemen bij wiskundige analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universiteit van Wroclaw. Polen.
3. Elementen van abstracte analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Afdeling wiskunde. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Inleiding tot de logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Universiteit krant.
5. Principes van wiskundige analyse. Enrique Linés Escardó. Redactioneel Reverté S. A 1991. Barcelona Spanje.