- Wat is de stelling van Moivre?
- Demonstratie
- Inductieve basis
- Inductieve hypothese
- Verificatie
- Negatief geheel getal
- Opgeloste oefeningen
- Berekening van positieve bevoegdheden
- Oefening 1
- Oplossing
- Oefening 2
- Oplossing
- Berekening van negatieve bevoegdheden
- Oefening 3
- Oplossing
- Referenties
De stelling van Moivre paste fundamentele algebraprocessen toe, zoals machten en het extraheren van wortels in complexe getallen. De stelling werd opgesteld door de beroemde Franse wiskundige Abraham de Moivre (1730), die complexe getallen associeerde met trigonometrie.
Abraham Moivre bracht deze associatie tot stand door de uitdrukkingen van de sinus en cosinus. Deze wiskundige heeft een soort formule gegenereerd waarmee het mogelijk is om een complex getal z te verhogen tot de macht n, wat een positief geheel getal is groter dan of gelijk aan 1.
Wat is de stelling van Moivre?
De stelling van Moivre stelt het volgende:
Als we een complex getal hebben in de polaire vorm z = r Ɵ , waarbij r de module van het complexe getal z is, en de hoek Ɵ de amplitude of het argument van een complex getal met 0 ≤ Ɵ ≤ 2π wordt genoemd, om de n– te berekenen het vermogen zal niet nodig zijn om het n keer met zichzelf te vermenigvuldigen; dat wil zeggen, het is niet nodig om het volgende product te maken:
Z n = z * z * z *. . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *. . . * r Ɵ n-keer.
Integendeel, de stelling zegt dat, wanneer we z in zijn trigonometrische vorm schrijven, we om de n-de macht te berekenen als volgt te werk gaan:
Als z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) dan z n = r n (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ).
Als bijvoorbeeld n = 2, dan is z 2 = r 2 . Als n = 3, dan is z 3 = z 2 * z. Ook:
z 3 = r 2 * r = r 3 .
Op deze manier kunnen de trigonometrische verhoudingen van de sinus en cosinus worden verkregen voor veelvouden van een hoek, zolang de trigonometrische verhoudingen van de hoek bekend zijn.
Op dezelfde manier kan het worden gebruikt om nauwkeurigere en minder verwarrende uitdrukkingen te vinden voor de n -de wortel van een complex getal z, zodat z n = 1.
Om de stelling van Moivre te bewijzen, wordt het principe van wiskundige inductie gebruikt: als een geheel getal "a" een eigenschap "P" heeft, en indien voor elk geheel getal "n" groter dan "a" dat de eigenschap "P" heeft Het voldoet eraan dat n + 1 ook de eigenschap "P" heeft, dan hebben alle gehele getallen groter dan of gelijk aan "a" de eigenschap "P".
Demonstratie
Het bewijs van de stelling wordt dus gedaan met de volgende stappen:
Inductieve basis
Het wordt eerst gecontroleerd op n = 1.
Aangezien z 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r 1 , geldt de stelling voor n = 1.
Inductieve hypothese
Aangenomen wordt dat de formule waar is voor een positief geheel getal, dat wil zeggen n = k.
z k = (r (cos Ɵ + ik * zonde Ɵ)) k = r k (cos k Ɵ + ik * zonde k Ɵ).
Verificatie
Het is bewezen dat het waar is voor n = k + 1.
Aangezien z k + 1 = z k * z, dan is z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + ik * senƟ).
Vervolgens worden de uitdrukkingen vermenigvuldigd:
z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * senƟ)).
Even wordt de factor r k + 1 genegeerd , en wordt de gemeenschappelijke factor i genomen:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i 2 (sin kƟ) * (sinƟ).
Omdat i 2 = -1, vervangen we het in de uitdrukking en krijgen we:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ).
Nu zijn het echte deel en het imaginaire deel geordend:
(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i.
Om de uitdrukking te vereenvoudigen, worden de trigonometrische identiteiten van de som van hoeken toegepast voor de cosinus en sinus, die zijn:
cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.
sin (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B.
In dit geval zijn de variabelen de hoeken Ɵ en kƟ. Als we de trigonometrische identiteiten toepassen, hebben we:
cos kƟ * cosƟ - sin kƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)
sin kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)
Op deze manier is de uitdrukking:
z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + ik * sin (kƟ + Ɵ))
z k + 1 = r k + 1 (cos + ik * sin).
Zo kon worden aangetoond dat het resultaat waar is voor n = k + 1. Door het principe van wiskundige inductie wordt geconcludeerd dat het resultaat waar is voor alle positieve gehele getallen; dat wil zeggen, n ≥ 1.
Negatief geheel getal
De stelling van Moivre wordt ook toegepast wanneer n ≤ 0. Laten we een negatief geheel getal "n" beschouwen; dan kan "n" worden geschreven als "-m", dat wil zeggen, n = -m, waarbij "m" een positief geheel getal is. Dus:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m
Om de exponent «m» op een positieve manier te verkrijgen, wordt de uitdrukking omgekeerd geschreven:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
Nu wordt gebruikt dat als z = a + b * i een complex getal is, dan 1 ÷ z = ab * i. Dus:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i * sin (mƟ).
Met dat cos (x) = cos (-x) en dat -sen (x) = sin (-x), hebben we:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n =
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sin (-mƟ)
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i * sin (nƟ).
Er kan dus worden gezegd dat de stelling van toepassing is op alle gehele waarden van "n".
Opgeloste oefeningen
Berekening van positieve bevoegdheden
Een van de bewerkingen met complexe getallen in hun polaire vorm is de vermenigvuldiging met twee hiervan; in dat geval worden de modules vermenigvuldigd en worden de argumenten toegevoegd.
Als je twee complexe getallen z 1 en z 2 hebt en je wilt (z 1 * z 2 ) 2 berekenen , dan ga je als volgt te werk:
z 1 z 2 = *
De distributieve eigenschap is van toepassing:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + ik 2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ).
Ze zijn gegroepeerd en nemen de term "i" als een gemeenschappelijke factor van de uitdrukkingen:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Omdat i 2 = -1, wordt het vervangen in de uitdrukking:
z 1 z 2 = r 1 r 2
De echte termen zijn gehergroepeerd met echt en denkbeeldig met denkbeeldig:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Ten slotte zijn de trigonometrische eigenschappen van toepassing:
z 1 z 2 = r 1 r 2 .
Tot slot:
(z 1 * z 2 ) 2 = (r 1 r 2 ) 2
= r 1 2 r 2 2 .
Oefening 1
Schrijf het complexe getal in polaire vorm als z = - 2 -2i. Bereken vervolgens met behulp van de stelling van Moivre z 4 .
Oplossing
Het complexe getal z = -2 -2i wordt uitgedrukt in de rechthoekige vorm z = a + bi, waarbij:
a = -2.
b = -2.
Wetende dat de polaire vorm z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) is, moeten we de waarde van de modulus "r" en de waarde van het argument "Ɵ" bepalen. Aangezien r = √ (a² + b²), worden de gegeven waarden vervangen:
r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2.
Om vervolgens de waarde van «Ɵ» te bepalen, wordt de rechthoekige vorm hiervan toegepast, die wordt gegeven door de formule:
tan Ɵ = b ÷ a
bruinen Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.
Aangezien tan (Ɵ) = 1 en we een <0 hebben, hebben we:
Ɵ = arctan (1) + Π.
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
Aangezien de waarde van «r» en «Ɵ» al is verkregen, kan het complexe getal z = -2 -2i in polaire vorm worden uitgedrukt door de waarden te vervangen:
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + ik * sin (5Π / 4)).
Nu gebruiken we de stelling van Moivre om z 4 te berekenen :
z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (cos (5Π) + ik * sin (5Π)).
Oefening 2
Zoek het product van de complexe getallen door het in polaire vorm uit te drukken:
z1 = 4 (cos 50 o + i * sin 50 o )
z2 = 7 (cos 100 o + i * sin 100 o ).
Bereken dan (z1 * z2) ².
Oplossing
Eerst wordt het product van de gegeven nummers gevormd:
z 1 z 2 = *
Vervolgens worden de modules met elkaar vermenigvuldigd en worden de argumenten toegevoegd:
z 1 z 2 = (4 * 7) *
De uitdrukking is vereenvoudigd:
z 1 z 2 = 28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o ).
Ten slotte is de stelling van Moivre van toepassing:
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o )) ² = 784 (cos 300 o + (i * sin 300 o )).
Berekening van negatieve bevoegdheden
Om twee complexe getallen z 1 en z 2 in hun polaire vorm te delen, wordt de modulus gedeeld en worden de argumenten afgetrokken. Het quotiënt is dus z 1 ÷ z 2 en wordt als volgt uitgedrukt:
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ().
Net als in het vorige geval, als we (z1 ÷ z2) ³ willen berekenen, wordt eerst de deling uitgevoerd en vervolgens wordt de stelling van Moivre gebruikt.
Oefening 3
Dobbelstenen:
z1 = 12 (cos (3π / 4) + ik * sin (3π / 4)),
z2 = 4 (cos (π / 4) + ik * sin (π / 4)),
bereken (z1 ÷ z2) ³.
Oplossing
Door de hierboven beschreven stappen te volgen, kan worden geconcludeerd dat:
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + ik * sin (3π / 2)).
Referenties
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
- Croucher, M. (zd). Van Moivre's Theorem for Trig Identities. Wolfram Demonstraties Project.
- Hazewinkel, M. (2001). Encyclopedie van de wiskunde.
- Max Peters, WL (1972). Algebra en trigonometrie.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.
- Stanley, G. (zd). Lineaire algebra. Graw-Hill.
- , M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.