GAUSS-SEIDEL-METHODE: UITLEG, TOEPASSINGEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

De Gauss-Seidel- methode is een iteratieve procedure voor het vinden van benaderende oplossingen voor een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen met een willekeurig gekozen precisie. De methode wordt toegepast op vierkante matrices met elementen die niet nul zijn in hun diagonalen en convergentie is gegarandeerd als de matrix diagonaal dominant is.

Het werd gemaakt door Carl Friedrich Gauss (1777-1855), die in 1823 een privédemonstratie gaf aan een van zijn studenten. Het werd later formeel gepubliceerd door Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) in 1874, vandaar de naam van beide wiskundigen.

Figuur 1. De Gauss-Seidel-methode convergeert snel om de oplossing van een stelsel vergelijkingen te verkrijgen. Bron: F. Zapata.

Voor een volledig begrip van de methode is het noodzakelijk om te weten dat een matrix diagonaal dominant is wanneer de absolute waarde van het diagonale element van elke rij groter is dan of gelijk is aan de som van de absolute waarden van de andere elementen van dezelfde rij.

Wiskundig wordt het als volgt uitgedrukt:

Uitleg aan de hand van een simpele case

Om te illustreren waaruit de Gauss-Seidel-methode bestaat, nemen we een eenvoudig geval, waarin de waarden van X en Y kunnen worden gevonden in het 2 × 2-systeem van lineaire vergelijkingen dat hieronder wordt weergegeven:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Te volgen stappen

1- In de eerste plaats is het noodzakelijk om te bepalen of de convergentie veilig is. Het valt meteen op dat het in feite een diagonaal dominant systeem is, aangezien in de eerste rij de eerste coëfficiënt een hogere absolute waarde heeft dan de andere in de eerste rij:

-5 -> - 2-

Evenzo is de tweede coëfficiënt in de tweede rij ook diagonaal dominant:

--4 -> - 1-

2- De variabelen X en Y worden gewist:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Er wordt een willekeurige beginwaarde geplaatst, genaamd "seed": Xo = 1, I = 2.

4-De iteratie begint: om de eerste benadering X1, Y1 te verkrijgen, wordt het zaad vervangen in de eerste vergelijking van stap 2 en het resultaat in de tweede vergelijking van stap 2:

X1 = (1 - 2 ik) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- We gaan op dezelfde manier te werk om de tweede benadering van de oplossing van het stelsel vergelijkingen te verkrijgen:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Derde iteratie:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Vierde iteratie, als laatste iteratie van dit illustratieve geval:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Deze waarden komen vrij goed overeen met de oplossing die met andere oplossingsmethoden wordt gevonden. De lezer kan het snel controleren met behulp van een online wiskundeprogramma.

Analyse van de methode

Zoals te zien is, moeten in de Gauss-Seidel-methode de benaderde waarden die voor de vorige variabele in diezelfde stap zijn verkregen, worden vervangen door de volgende variabele. Dit onderscheidt het van andere iteratieve methoden zoals Jacobi's, waarbij elke stap de benaderingen van de vorige fase vereist.

De Gauss-Seidel-methode is geen parallelle procedure, terwijl de Gauss-Jordan-methode dat wel is. Het is ook de reden dat de Gauss-Seidel-methode een snellere convergentie heeft - in minder stappen - dan de Jordan-methode.

Aan de diagonaal dominante matrixconditie wordt niet altijd voldaan. In de meeste gevallen is het simpelweg verwisselen van de rijen van het oorspronkelijke systeem echter voldoende om aan de voorwaarde te voldoen. Bovendien convergeert de methode bijna altijd, zelfs als niet aan de voorwaarde voor diagonale dominantie wordt voldaan.

Het vorige resultaat, verkregen door vier iteraties van de Gauss-Seidel-methode, kan in decimale vorm worden geschreven:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

De exacte oplossing voor het voorgestelde stelsel van vergelijkingen is:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Dus met slechts 4 iteraties krijg je een resultaat met een duizendste precisie (0,001).

Figuur 1 illustreert hoe opeenvolgende iteraties snel convergeren naar de exacte oplossing.

Toepassingen

De Gauss-Seidel-methode is niet beperkt tot alleen een 2 × 2-stelsel van lineaire vergelijkingen. De vorige procedure kan worden gegeneraliseerd om een ​​lineair systeem van n vergelijkingen met n onbekenden op te lossen, dat in een matrix als volgt wordt weergegeven:

EEN X = b

Waar A een nxn-matrix is, terwijl X de vector n componenten is van de n te berekenen variabelen; en b is een vector die de waarden van de onafhankelijke termen bevat.

Om de reeks iteraties die in het illustratieve geval is toegepast te generaliseren naar een nxn-systeem, waaruit de variabele Xi wil worden berekend, wordt de volgende formule toegepast:

In deze vergelijking:

- k is de index voor de waarde verkregen in iteratie k.

-k + 1 geeft de nieuwe waarde in het volgende aan.

Het uiteindelijke aantal iteraties wordt bepaald wanneer de waarde verkregen in iteratie k + 1 verschilt van de waarde die onmiddellijk ervoor is verkregen, met een hoeveelheid ε die precies de gewenste precisie is.

Voorbeelden van de Gauss-Seidel-methode

- Voorbeeld 1

Schrijf een algemeen algoritme waarmee de vector van benaderende oplossingen X van een lineair systeem van vergelijkingen nxn kan worden berekend , gegeven de matrix van coëfficiënten A, de vector van onafhankelijke termen b , het aantal iteraties (i ter) en de beginwaarde of 'seed "van de vector X .

Oplossing

Het algoritme bestaat uit twee "Aan" -cycli, één voor het aantal iteraties en de andere voor het aantal variabelen. Het zou als volgt zijn:

Voor k ∊

Voor i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Voorbeeld 2

Controleer de werking van het vorige algoritme via de toepassing ervan in de gratis en gratis te gebruiken wiskundige software SMath Studio, beschikbaar voor Windows en Android. Neem als voorbeeld het geval van de 2 × 2-matrix die ons hielp om de Gauss-Seidel-methode te illustreren.

Oplossing

Figuur 2. Oplossing van het stelsel van vergelijkingen van het 2 x 2 voorbeeld, met behulp van de SMath Studio software. Bron: F. Zapata.

- Voorbeeld 3

Pas het Gauss-Seidel-algoritme toe voor het volgende 3 × 3-stelsel van vergelijkingen, dat eerder zo is geordend dat de coëfficiënten van de diagonaal dominant zijn (d.w.z. met een grotere absolute waarde dan de absolute waarden van de coëfficiënten van dezelfde rij):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Gebruik de nulvector als een zaadje en overweeg vijf iteraties. Geef commentaar op het resultaat.

Oplossing

Figuur 3. Oplossing van het stelsel van vergelijkingen van opgelost voorbeeld 3, met behulp van SMath Studio. Bron: F. Zapata.

Voor hetzelfde systeem met 10 iteraties in plaats van 5 worden de volgende resultaten verkregen: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Dit vertelt ons dat vijf iteraties voldoende zijn om drie decimalen nauwkeurig te krijgen en dat de methode snel convergeert naar de oplossing.

- Voorbeeld 4

Gebruik het hierboven gegeven Gauss-Seidel-algoritme om de oplossing te vinden voor het onderstaande 4 × 4-systeem van vergelijkingen:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Maak gebruik van dit seed om de methode te starten:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 en x4 = 0

Overweeg 10 iteraties en schat de fout van het resultaat, in vergelijking met iteratie nummer 11.

Oplossing

Figuur 4. Oplossing van het stelsel van vergelijkingen van opgelost voorbeeld 4, met behulp van SMath Studio. Bron: F. Zapata.

Bij vergelijking met de volgende iteratie (nummer 11), is het resultaat identiek. De grootste verschillen tussen de twee iteraties zijn in de orde van grootte van 2 × ^10-8 , wat betekent dat de weergegeven oplossing een nauwkeurigheid heeft van ten minste zeven decimalen.

Referenties

1. Iteratieve oplossingsmethoden. Gauss-Seidel. Hersteld van: cimat.mx
2. Numerieke methodes. Gauss-Seidel. Hersteld van: test.cua.uam.mx
3. Numeriek: Gauss-Seidel-methode. Hersteld van: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidel-methode. Hersteld van: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidel-methode. Hersteld van: es.wikipedia.com