EULER'S METHODE: WAAR HET VOOR IS, PROCEDURE EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De Euler-methode is de meest elementaire en eenvoudige procedure die wordt gebruikt om numerieke oplossingen te vinden die een gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde benaderen, op voorwaarde dat de initiële toestand bekend is.

Een gewone differentiaalvergelijking (ODE) is de vergelijking die een onbekende functie van een enkele onafhankelijke variabele relateert aan zijn afgeleiden.

Opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Euler. Bron: Oleg Alexandrov

Als de grootste afgeleide die in de vergelijking verschijnt van graad één is, dan is het een gewone differentiaalvergelijking van de eerste graad.

De meest algemene manier om een ​​vergelijking van de eerste graad te schrijven is:

x = x ₀

y = y ₀

Wat is de methode van Euler?

Het idee van de methode van Euler is om een ​​numerieke oplossing te vinden voor de differentiaalvergelijking in het interval tussen X ₀ en X _f .

Ten eerste wordt het interval gediscretiseerd in n + 1 punten:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Die worden als volgt verkregen:
x _i = x ₀ + ih

Waar h is de breedte of stap van de subintervallen:

Met de beginvoorwaarde is het dan ook mogelijk om aan het begin de afgeleide te kennen:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Deze afgeleide vertegenwoordigt de helling van de raaklijn aan de curve van de functie y (x) precies op het punt:

Ao = (x _o , y _o )

Vervolgens wordt op het volgende punt een geschatte voorspelling gedaan van de waarde van de functie y (x):

y (x ₁ ) ≈ y ₁

Y _{1 =} Y _O + (X ₁ - X _O ) f (X _O , Y _O ) = Y _{O +} hf (X _O , Y _O )

Het volgende geschatte punt van de oplossing is dan verkregen, wat zou overeenkomen met:

EEN ₁ = (x ₁ , y ₁ )

De procedure wordt herhaald om de opeenvolgende punten te verkrijgen

A ₂ , A ₃ …, x _n

In de figuur die aan het begin wordt getoond, vertegenwoordigt de blauwe curve de exacte oplossing van de differentiaalvergelijking, en de rode geeft de opeenvolgende benaderde punten weer die zijn verkregen met de Euler-procedure.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

I ) Stel dat de differentiaalvergelijking is:

Met de beginvoorwaarde x = a = 0; en _a = 1

Gebruik de methode van Euler om een ​​geschatte oplossing van y te krijgen op de coördinaat X = b = 0,5, waarbij het interval wordt onderverdeeld in n = 5 delen.

Oplossing

De numerieke resultaten worden als volgt samengevat:

Hieruit wordt geconcludeerd dat de oplossing Y voor de waarde 0,5 1,4851 is.

Let op: Smath Studio, een gratis programma voor gratis gebruik, is gebruikt om de berekeningen uit te voeren.

Oefening 2

II ) Ga verder met de differentiaalvergelijking van opgave I), zoek de exacte oplossing en vergelijk deze met het resultaat verkregen met de methode van Euler. Zoek de fout of het verschil tussen het exacte resultaat en het geschatte resultaat.

Oplossing

De exacte oplossing is niet erg moeilijk te vinden. De afgeleide van de functie sin (x) staat bekend als de functie cos (x). Daarom zal de oplossing y (x) zijn:

y (x) = zonde x + C

Om te voldoen aan de initiële voorwaarde en (0) = 1, moet de constante C gelijk zijn aan 1. Het exacte resultaat wordt dan vergeleken met het benaderde resultaat:

Geconcludeerd wordt dat in het berekende interval de benadering drie significante precisiecijfers heeft.

Oefening 3

III ) Beschouw de differentiaalvergelijking en de beginvoorwaarden hieronder:

y '(x) = - y ²

Met de beginvoorwaarde x ₀ = 0; en ₀ = 1

Gebruik de methode van Euler om de geschatte waarden van de oplossing y (x) op het interval x = te vinden. Gebruik stap h = 0,1.

Oplossing

De methode van Euler is zeer geschikt voor gebruik met een spreadsheet. In dit geval gebruiken we de geogebra-spreadsheet, een gratis en open-sourceprogramma.

De spreadsheet in de figuur toont drie kolommen (A, B, C), de eerste is de variabele x, de tweede kolom is de variabele y en de derde kolom is de afgeleide y '.

Rij 2 bevat de beginwaarden van X, Y, Y '.

De waardestap 0.1 is in de absolute positiecel ($ D $ 4) geplaatst.

De beginwaarde van y0 bevindt zich in cel B2 en y1 in cel B3. Om y ₁ te berekenen wordt de formule gebruikt:

Y _{1 =} Y _O + (X ₁ - X _O ) f (X _O , Y _O ) = Y _{O +} hf (X _O , Y _O )

Deze spreadsheetformule zou nummer B3 zijn: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Evenzo zou y2 in cel B4 staan ​​en de formule wordt weergegeven in de volgende afbeelding:

De figuur toont ook de grafiek van de exacte oplossing en de punten A, B,…, P van de benaderde oplossing volgens de methode van Euler.

Newtoniaanse dynamica en de methode van Euler

Klassieke dynamica is ontwikkeld door Isaac Newton (1643 - 1727). De oorspronkelijke motivatie van Leonard Euler (1707 - 1783) om zijn methode te ontwikkelen, was juist om de vergelijking van Newtons tweede wet in verschillende fysieke situaties op te lossen.

De tweede wet van Newton wordt meestal uitgedrukt als een differentiaalvergelijking van de tweede graad:

Waar x staat voor de positie van een object op tijdstip t. Dit object heeft een massa m en wordt onderworpen aan een kracht F. De functie f is als volgt gerelateerd aan kracht en massa:

Om de methode van Euler toe te passen, zijn de beginwaarden van tijd t, snelheid v en positie x vereist.

De volgende tabel legt uit hoe uitgaande van de beginwaarden t1, v1, x1 een benadering van de snelheid v2 en de positie x2 kan worden verkregen, op het moment t2 = t1 + Δt, waarbij Δt een kleine toename vertegenwoordigt en overeenkomt met de stap in de methode van Euler.

Oefening 4

IV ) Een van de fundamentele problemen in de mechanica is dat van een blok massa M gebonden aan een veer (of veer) met elastische constante K.

De tweede wet van Newton voor dit probleem zou er als volgt uitzien:

In dit voorbeeld nemen we voor de eenvoud M = 1 en K = 1. Vind benaderende oplossingen voor de positie x en de snelheid v volgens de methode van Euler op het tijdsinterval door het interval in 12 delen te verdelen.

Neem 0 als het eerste moment, beginsnelheid 0 en beginpositie 1.

Oplossing

De numerieke resultaten worden weergegeven in de volgende tabel:

De grafieken van de positie en snelheid tussen 0 en 1,44 worden ook weergegeven.

Voorgestelde oefeningen voor thuis

Oefening 1

Gebruik een spreadsheet om een ​​geschatte oplossing te bepalen met behulp van de methode van Euler voor de differentiaalvergelijking:

y '= - Exp (-y) met de beginvoorwaarden x = 0, y = -1 in het interval x =

Begin met een stap van 0,1. Teken het resultaat.

Oefening 2

Zoek met behulp van een spreadsheet numerieke oplossingen voor de volgende kwadratische vergelijking, waarbij y een functie is van de onafhankelijke variabele t.

y '' = - 1 / y² met de beginvoorwaarde t = 0; en (0) = 0,5; y '(0) = 0

Zoek de oplossing in het interval met een stap van 0,05.

Teken het resultaat: y vs t; y 'vs t

Referenties

1. Eurler-methode Overgenomen van wikipedia.org
2. Euler-oplosser. Genomen van en.smath.com