PYTHAGORISCHE IDENTITEITEN: DEMONSTRATIE, VOORBEELD, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

Pythagoras identiteiten zijn allemaal trigonometrische vergelijkingen die gelden voor elke waarde van de hoek en zijn gebaseerd op de stelling van Pythagoras. De bekendste van de Pythagorische identiteiten is de fundamentele trigonometrische identiteit:

Zonde ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figuur 1. Goniometrische identiteiten van Pythagoras.

Volgende belangrijk en ik gebruik de Pythagorische identiteit van de raaklijn en secans:

Geelbruin ² (α) + 1 = Sec ² (α)

En de trigonometrische identiteit van Pythagoras met de cotangens en de cosecans:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstratie

De trigonometrische verhoudingen sinus en cosinus worden weergegeven op een cirkel met straal één (1) die bekend staat als een trigonometrische cirkel. Deze cirkel heeft zijn middelpunt bij de oorsprong van coördinaten O.

Hoeken worden gemeten vanaf de positieve halve as van de X-en, bijvoorbeeld hoek α in figuur 2 (zie hieronder). Linksom als de hoek positief is, en rechtsom als het een negatieve hoek is.

De straal met oorsprong O en hoek α wordt getekend, die de eenheidscirkel op punt P onderschept. Punt P wordt orthogonaal geprojecteerd op de horizontale as X waardoor punt C ontstaat. Op dezelfde manier wordt P loodrecht op de verticale as Y geprojecteerd, waardoor plaats om S.

We hebben de rechthoekige driehoek OCP bij C.

Sinus en cosinus

Houd er rekening mee dat de trigonometrische verhouding sinus als volgt wordt gedefinieerd op een rechthoekige driehoek:

De sinus van een hoek van de driehoek is de verhouding of quotiënt tussen het been tegenover de hoek en de hypotenusa van de driehoek.

Toegepast op de driehoek OCP van figuur 2 zou het er als volgt uitzien:

Sen (α) = CP / OP

maar CP = OS en OP = 1, zodat:

Sen (α) = OS

Dat betekent dat het projectie-OS op de Y-as een waarde heeft die gelijk is aan de sinus van de weergegeven hoek. Opgemerkt moet worden dat de maximale waarde van de sinus van een hoek (+1) optreedt wanneer α = 90º en de minimumwaarde (-1) wanneer α = -90º of α = 270º.

Figuur 2. Goniometrische cirkel die de relatie toont tussen de stelling van Pythagoras en de fundamentele trigonometrische identiteit. (Eigen uitwerking)

Evenzo is de cosinus van een hoek het quotiënt tussen het been dat grenst aan de hoek en de hypotenusa van de driehoek.

Toegepast op de driehoek OCP van figuur 2 zou het er als volgt uitzien:

Cos (α) = OC / OP

maar OP = 1, zodat:

Cos (α) = OC

Dit betekent dat de projectie OC op de X-as een waarde heeft die gelijk is aan de sinus van de weergegeven hoek. Opgemerkt moet worden dat de maximale waarde van cosinus (+1) optreedt wanneer α = 0º of α = 360º, terwijl de minimumwaarde van cosinus (-1) is wanneer α = 180º.

De fundamentele identiteit

Voor de rechthoekige driehoek OCP in C wordt de stelling van Pythagoras toegepast, die stelt dat de som van het kwadraat van de benen gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa:

CP ² + OC ² = OP ²

Maar er is al gezegd dat CP = OS = Sen (α), dat OC = Cos (α) en dat OP = 1, dus de vorige uitdrukking kan worden herschreven als een functie van de sinus en cosinus van de hoek:

Zonde ² (α) + Cos ² (α) = 1

De as van de raaklijn

Net zoals de X-as in de trigonometrische cirkel de cosinusas is en de Y-as de sinusas, zo is er ook de raaklijn (zie figuur 3) die precies de raaklijn is aan de eenheidscirkel op het punt B van coördinaten (1, 0).

Als je de waarde van de raaklijn van een hoek wilt weten, wordt de hoek getekend vanaf de positieve halve as van de X, het snijpunt van de hoek met de as van de raaklijn definieert een punt Q, de lengte van het segment OQ is de raaklijn van de hoek.

Dit komt doordat per definitie de tangens van hoek α het tegenoverliggende been QB is tussen het aangrenzende been OB. Dat wil zeggen, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figuur 3. De trigonometrische cirkel die de as van de raaklijn en de Pythagorische identiteit van de raaklijn toont. (Eigen uitwerking)

De Pythagorische identiteit van de raaklijn

De Pythagoras-identiteit van de raaklijn kan worden bewezen door de rechthoekige driehoek OBQ bij B te beschouwen (figuur 3). Als we de stelling van Pythagoras op deze driehoek toepassen, hebben we dat BQ ² + OB ² = OQ ² . Maar er is al gezegd dat BQ = Tan (α), dat OB = 1 en dat OQ = Sec (α), dus als we in de Pythagorische gelijkheid de rechthoekige driehoek OBQ vervangen, hebben we:

Geelbruin ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Voorbeeld

Controleer of de identiteit van Pythagoras al dan niet vervuld is in de rechthoekige driehoek van benen AB = 4 en BC = 3.

Oplossing: de benen zijn bekend, de hypotenusa moet worden bepaald, namelijk:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

De hoek ∡BAC wordt α, ∡BAC = α genoemd. Nu worden de trigonometrische verhoudingen bepaald:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Dus α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Het begint met de fundamentele trigonometrische identiteit:

Zonde ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Er wordt geconcludeerd dat het is vervuld.

- De volgende Pythagorische identiteit is die van de raaklijn:

Geelbruin ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

En er wordt geconcludeerd dat de identiteit van de raaklijn wordt geverifieerd.

- Op een vergelijkbare manier die van de cotangens:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Er wordt geconcludeerd dat het ook is vervuld, waarmee de taak van het verifiëren van de Pythagorische identiteiten voor de gegeven driehoek is voltooid.

Opgeloste oefeningen

Bewijs de volgende identiteiten, gebaseerd op de definities van de trigonometrische verhoudingen en de Pythagorische identiteiten.

Oefening 1

Bewijs dat Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Oplossing: aan de rechterkant herkennen we het opmerkelijke product van de vermenigvuldiging van een binominaal door zijn conjugaat, dat, zoals bekend, een verschil in kwadraten is:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Dan gaat de term met sinus aan de rechterkant naar de linkerkant met het teken veranderd:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Erop wijzend dat de fundamentele trigonometrische identiteit is bereikt, wordt geconcludeerd dat de gegeven uitdrukking een identiteit is, dat wil zeggen dat het waar is voor elke waarde van x.

Oefening 2

Uitgaande van de fundamentele trigonometrische identiteit en gebruikmakend van de definities van de trigonometrische verhoudingen, demonstreert u de Pythagorische identiteit van de cosecans.

Oplossing: de fundamentele identiteit is:

Zonde ² (x) + Cos ² (x) = 1

Beide leden worden gedeeld door Sen ² (x) en de noemer wordt verdeeld in het eerste lid:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Het is vereenvoudigd:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) is een (niet-Pythagorische) identiteit die wordt geverifieerd door de definitie van de trigonometrische verhoudingen. Hetzelfde gebeurt met de volgende identiteit: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Ten slotte moet je:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referenties

1. Baldor J. (1973). Vlak- en ruimtegeometrie met een inleiding tot trigonometrie. Centraal-Amerikaanse culturele. AC
2. CEA (2003). Geometrie-elementen: met oefeningen en kompasgeometrie. Universiteit van Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Wiskunde 2. Grupo Redactie Patria.
4. IGER. (sf). Wiskunde eerste semester Tacaná. IGER.
5. Jr. geometrie. (2014). Polygonen. Van Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren en Hornsby. (2006). Wiskunde: redeneren en toepassingen (tiende editie). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Wiskunde 5. Redactioneel Progreso.
8. Wikipedia. Goniometrische identiteiten en formules. Hersteld van: es.wikipedia.com