AANVULLENDE EVENEMENTEN: WAARUIT ZE BESTAAN ​​EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

De aanvullende gebeurtenissen worden gedefinieerd als elke groep elkaar wederzijds uitsluitende gebeurtenissen, waarbij de vereniging van hen in staat is om de monsterruimte of mogelijke gevallen van experimenten volledig te dekken (zijn uitputtend).

Hun kruising resulteert in de lege set (∅). De som van de kansen van twee complementaire gebeurtenissen is gelijk aan 1. Met andere woorden, 2 gebeurtenissen met deze eigenschap dekken volledig de mogelijkheid van gebeurtenissen van een experiment.

Bron: pexels.com

Wat zijn de aanvullende evenementen?

Een erg handig algemeen geval om dit type gebeurtenis te begrijpen, is het gooien van een dobbelsteen:

Bij het definiëren van de monsterruimte worden alle mogelijke gevallen genoemd die het experiment biedt. Deze set staat bekend als het universum.

Monsterruimte (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

De opties die niet in de monsterruimte zijn vastgelegd, behoren niet tot de mogelijkheden van het experiment. Bijvoorbeeld {het getal zeven komt naar boven} Het heeft een kans van nul.

Volgens het doel van het experiment worden sets en subsets gedefinieerd indien nodig. De te gebruiken setnotatie wordt ook bepaald volgens de doelstelling of parameter die moet worden bestudeerd:

A: {Voer een even getal uit} = {2, 4, 6}

B: {Get an odd number} = {1, 3, 5}

In dit geval A en B zijn complementaire Events. Omdat beide sets elkaar uitsluiten (een even getal dat op zijn beurt oneven is, kan niet uitkomen) en de vereniging van deze sets de gehele sample-ruimte beslaat.

Andere mogelijke subsets in het bovenstaande voorbeeld zijn:

C : {Voer een priemgetal uit} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Sets A, B en C zijn respectievelijk geschreven in beschrijvende en analytische notatie . Voor de set D werd algebraïsche notatie gebruikt en de mogelijke resultaten die overeenkomen met het experiment werden beschreven in Analytische notatie .

In het eerste voorbeeld wordt opgemerkt dat aangezien A en B complementaire gebeurtenissen zijn

A: {Voer een even getal uit} = {2, 4, 6}

B: {Get an odd number} = {1, 3, 5}

De volgende axioma's gelden:

1. AUB = S ; De vereniging van twee complementaire gebeurtenissen is gelijk aan de monsterruimte
2. EEN ∩B = ∅ ; Het snijpunt van twee complementaire gebeurtenissen is gelijk aan de lege set
3. A '= B ᴧ B' = A; Elke subset is gelijk aan het complement van zijn homoloog
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Snijd een set met zijn complement is gelijk aan leeg
5. A 'UA = B' UB = S; Het samenvoegen van een set met zijn complement is gelijk aan de monsterruimte

In statistieken en probabilistische studies maken complementaire gebeurtenissen deel uit van de hele theorie en komen ze veel voor bij de operaties die op dit gebied worden uitgevoerd.

Om meer te weten te komen over complementaire gebeurtenissen , is het noodzakelijk om bepaalde termen te begrijpen die helpen om ze conceptueel te definiëren.

Wat zijn de evenementen?

Het zijn mogelijkheden en gebeurtenissen die het resultaat zijn van experimenten, die in elk van hun iteraties resultaten kunnen bieden. De gebeurtenissen genereren de gegevens die moeten worden geregistreerd als elementen van sets en subsets, de trends in deze gegevens zijn reden voor onderzoek naar waarschijnlijkheid.

Voorbeelden van evenementen zijn:

• De munt wees koppen
• De wedstrijd resulteerde in een gelijkspel
• De chemische stof reageerde in 1,73 seconden
• De snelheid op het maximale punt was 30 m / s
• De dobbelsteen markeerde het nummer 4

Wat is een plug-in?

Met betrekking tot verzamelingenleer. Een complement verwijst naar het deel van de monsterruimte dat aan een set moet worden toegevoegd om de universe te kunnen omvatten. Het is alles dat geen deel uitmaakt van het geheel.

Een bekende manier om complement in de verzamelingenleer aan te duiden is:

Een 'aanvulling van A

Venn diagram

Bron: pixabay.com

Het is een grafisch inhoudsanalyseschema dat veel wordt gebruikt bij wiskundige bewerkingen met verzamelingen, subverzamelingen en elementen. Elke set wordt vertegenwoordigd door een hoofdletter en een ovaal cijfer (dit kenmerk is niet verplicht bij het gebruik) dat elk van zijn elementen bevat.

De extra gebeurtenissen zijn direct te zien in Venn-diagrammen, als de grafische methode om de corresponderende toevoegingen aan elke set te identificeren.

Door simpelweg de omgeving van een set volledig te visualiseren, zonder de grens en interne structuur, kan een definitie worden gegeven aan het complement van de bestudeerde set.

Voorbeelden van aanvullende evenementen

Voorbeelden van aanvullende evenementen zijn succes en nederlaag in een evenement waar geen gelijkheid kan bestaan ​​(een honkbalwedstrijd).

Booleaanse variabelen zijn complementaire gebeurtenissen: waar of onwaar, evenzo goed of fout, gesloten of open, aan of uit.

Aanvullende oefeningen voor evenementen

Oefening 1

Laat S de universe-verzameling zijn die wordt gedefinieerd door alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan tien.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

De volgende subsets van S zijn gedefinieerd

H: {natuurlijke getallen kleiner dan vier} = {0, 1, 2, 3}

J: {Veelvouden van drie} = {3, 6, 9}

K: {Veelvouden van vijf} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan vier} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Besluiten:

Hoeveel complementaire gebeurtenissen kunnen worden gevormd door paren van subsets van S met elkaar te verbinden ?

Volgens de definitie van complementaire gebeurtenissen worden de paren die aan de vereisten voldoen geïdentificeerd (sluiten elkaar uit en dekken de monsterruimte bij het samenvoegen). De volgende paren subsets zijn complementaire gebeurtenissen :

• H en N
• J en M
• L en K

Oefening 2

Laat zien dat: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; De kruising tussen sets levert de gemeenschappelijke elementen tussen beide operante sets op. Op deze manier is 5 het enige gemeenschappelijke element tussen M en K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Omdat L en K complementair zijn, is aan het derde hierboven beschreven axioma voldaan (elke subset is gelijk aan het complement van zijn homoloog)

Oefening 3

Definieer: '

J ∩ H = {3} ; Op een homologe manier met de eerste stap van de vorige oefening.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Deze bewerkingen staan ​​bekend als gecombineerd en worden meestal behandeld met een Venn-diagram.

' = {0, 1, 2}; Het complement van de gecombineerde operatie is gedefinieerd.

Oefening 4

Bewijs dat: { ∩ ∩} '= ∅

De samengestelde bewerking die tussen accolades wordt beschreven, verwijst naar de snijpunten tussen de vakbonden van de complementaire gebeurtenissen. Op deze manier gaan we verder met het verifiëren van het eerste axioma (de vereniging van twee complementaire gebeurtenissen is gelijk aan de monsterruimte).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; De vereniging en het snijpunt van een set met zichzelf genereert dezelfde set.

Vervolgens; S '= ∅ Per definitie van sets.

Oefening 5

Definieer 4 snijpunten tussen subsets, waarvan de resultaten verschillen van de lege set (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Referenties

1. DE ROL VAN STATISTISCHE METHODEN IN COMPUTERWETENSCHAP EN BIO-INFORMATICA. Irina Arhipova. Letland University of Agriculture, Letland.
2. Statistieken en de evaluatie van bewijs voor forensische wetenschappers. Tweede druk. Colin GG Aitken. School voor wiskunde. De universiteit van Edinburgh, VK
3. BASISKANSSTHEORIE, Robert B. Ash. Departement Wiskunde. Universiteit van Illinois
4. Elementaire STATISTIEKEN. Tiende editie. Mario F. Triola. Boston St.
5. Wiskunde en techniek in de informatica. Christopher J. Van Wyk. Instituut voor Computerwetenschappen en Technologie. Nationaal Bureau of Standards. Washington, DC 20234
6. Wiskunde voor informatica. Eric Lehman. Google Inc.
   V Thomson Leighton Afdeling Wiskunde en Computerwetenschappen en AI-laboratorium, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies