- vermenigvuldiging van een reëel getal α door een vector v : α v die een vector en die van V .

Artistieke visie van een vectorruimte. Bron: Pixabay

Om een ​​vector aan te duiden, gebruiken we vetgedrukt ( v is een vector), en voor scalairen of cijfers Griekse letters (α is een getal).

Axioma's en eigenschappen

Om een ​​vectorruimte te geven, moeten de volgende acht axioma's gelden:

1-commuteerbaarheid: u + v = v + u

2-overgangsgevoeligheid: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Bestaan ​​van de nulvector 0 zodat 0 + v = v

4-Bestaan ​​van het tegenovergestelde: het tegenovergestelde van v is (- v ), aangezien v + (- v ) = 0

5-distributiviteit van het product ten opzichte van de vectorsom: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributiviteit van het product met betrekking tot de scalaire som: (α + β) v = α v + β v

7-associativiteit van het scalaire product: α (β v ) = (α β) v

8-De nummer 1 is het neutrale element sinds: 1 v = v

Voorbeelden van vectorruimten

voorbeeld 1

Vectoren in het (R²) -vlak zijn een voorbeeld van een vectorruimte. Een vector in het vlak is een geometrisch object dat grootte en richting heeft. Het wordt weergegeven door een georiënteerd segment dat tot het vlak behoort en met een grootte die evenredig is met de grootte ervan.

De som van twee vectoren in het vlak kan worden gedefinieerd als de geometrische translatiebewerking van de tweede vector na de eerste. Het resultaat van de som is het georiënteerde segment dat begint vanaf de oorsprong van het eerste en het puntje van het tweede bereikt.

In de figuur is te zien dat de som in R² commutatief is.

Figuur 2. Vectoren in het vlak vormen vectorruimte. Bron: zelf gemaakt.

Het product van een getal α en een vector wordt ook gedefinieerd. Als het getal positief is, wordt de richting van de originele vector behouden en is de grootte α maal de originele vector. Als het getal negatief is, is de richting het tegenovergestelde en is de grootte van de resulterende vector de absolute waarde van het getal.

De vector tegenover elke vector v is - v = (- 1) v .

De nulvector is een punt in het R²-vlak en het getal nul keer een vector geeft de nulvector.

Alles wat is gezegd, wordt geïllustreerd in figuur 2.

Voorbeeld 2

De verzameling P van alle polynomen van graad kleiner dan of gelijk aan twee, inclusief graad nul, vormt een verzameling die voldoet aan alle axioma's van een vectorruimte.

Stel dat het polynoom P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

De som van twee veeltermen wordt gedefinieerd: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

De som van veeltermen die tot de verzameling P behoren, is commutatief en transitief.

De nulpolynoom behorende tot de verzameling P is er een waarvan alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

De som van een scalair α door een polynoom wordt gedefinieerd als: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Het tegenovergestelde polynoom van P (x) is -P (x) = (-1) P (x).

Uit al het bovenstaande volgt dat de verzameling P van alle polynomen met een graad kleiner dan of gelijk aan twee een vectorruimte is.

Voorbeeld 3

De verzameling M van alle matrices van m rijen xn kolommen waarvan de elementen reële getallen zijn, vormen een reële vectorruimte, met betrekking tot de bewerkingen van optellen van matrices en product van een getal door een matrix.

Voorbeeld 4

De verzameling F van continue functies van reële variabelen vormen een vectorruimte, aangezien het mogelijk is om de som van twee functies te definiëren, de vermenigvuldiging van een scalair met een functie, de nulfunctie en de symmetrische functie. Ze vervullen ook de axioma's die een vectorruimte kenmerken.

Basis en afmeting van een vectorruimte

Baseren

De basis van een vectorruimte wordt gedefinieerd als een reeks lineair onafhankelijke vectoren, zodat uit een lineaire combinatie daarvan elke vector van die vectorruimte kan worden gegenereerd.

Lineair combineren van twee of meer vectoren bestaat uit het vermenigvuldigen van de vectoren met een aantal scalair en vervolgens vectorieel optellen.

In de vectorruimte van vectoren in drie dimensies gevormd door R³ wordt bijvoorbeeld de canonieke basis gedefinieerd door de eenheidsvectoren (van magnitude 1) i , j , k gebruikt .

Waar i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dit zijn de cartesiaanse of canonieke vectoren.

Elke vector V die bij R³ hoort, wordt geschreven als V = a i + b j + c k , wat een lineaire combinatie is van de basisvectoren i , j , k . Een scalaire of getallen a, b, c zogenaamde Cartesische componenten van V .

Er wordt ook gezegd dat de basisvectoren van een vectorruimte een generatorset van de vectorruimte vormen.

Dimensie

De dimensie van een vectorruimte is het hoofdtelwoord van een vectorbasis voor die ruimte; dat wil zeggen, het aantal vectoren waaruit de basis bestaat.

Deze kardinaal is het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren van die vectorruimte en tegelijkertijd het minimale aantal vectoren dat een generatorset van die ruimte vormt.

De bases van een vectorruimte zijn niet uniek, maar alle bases van dezelfde vectorruimte hebben dezelfde dimensie.

Vector subruimte

Een vectordeelruimte S van een vectorruimte V is een deelverzameling van V waarin dezelfde bewerkingen zijn gedefinieerd als in V en voldoet aan alle vectorruimte-axioma's. Daarom zal de deelruimte S ook een vectorruimte zijn.

Een voorbeeld van een vector-deelruimte zijn de vectoren die tot het XY-vlak behoren. Deze deelruimte is een deelverzameling van een vectorruimte met dimensionaliteit die groter is dan de verzameling vectoren die behoren tot de driedimensionale ruimte XYZ.

Een ander voorbeeld van een vectorsubruimte S1 van de vectorruimte S gevormd door alle 2 × 2 matrices met reële elementen wordt hieronder gedefinieerd:

Aan de andere kant, S2 hieronder gedefinieerd, hoewel het een subset van S is, vormt geen vectorsubruimte:

Opgeloste oefeningen

-Oefening 1

Laat de vectoren V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) en V3 = (0, 0, 3) in R³.

a) Laat zien dat ze lineair onafhankelijk zijn.

b) Laat zien dat ze een basis vormen in R³, aangezien elke triple (x, y, z) kan worden geschreven als een lineaire combinatie van V1, V2, V3.

c) Vind de componenten van de drievoudige V = (-3,5,4) in de basis V1 , V2 , V3 .

Oplossing

Het criterium om lineaire onafhankelijkheid aan te tonen bestaat uit het opstellen van de volgende reeks vergelijkingen in α, β en γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

In het geval dat de enige oplossing voor dit systeem α = β = γ = 0 is, dan zijn de vectoren lineair onafhankelijk, anders niet.

Om de waarden van α, β en γ te verkrijgen, stellen we het volgende stelsel vergelijkingen voor:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

De eerste leidt tot α = 0, de tweede α = -2 ∙ β maar aangezien α = 0 dan β = 0. De derde vergelijking impliceert dat γ = (- 1/3) β, maar aangezien β = 0 dan γ = 0.

Antwoord op

Er wordt geconcludeerd dat het een set lineair onafhankelijke vectoren in R³ is.

Antwoord b

Laten we nu de triple (x, y, z) schrijven als een lineaire combinatie van V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Waar heb je:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

De eerste geeft α = x aan, de tweede β = (yx) / 2 en de derde γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Op deze manier hebben we de generatoren van α, β en γ van elk triplet van R³ gevonden

Antwoord c

Laten we verder gaan om de componenten van de drievoudige V = (-3,5,4) in de basis V1 , V2 , V3 te vinden .

We vervangen de overeenkomstige waarden in de bovenstaande uitdrukkingen voor de generatoren.

In dit geval hebben we: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Dat is:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Op laatst:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

We concluderen dat V1, V2, V3 een basis vormen in de vectorruimte R³ van dimensie 3.

-Oefening 2

Druk het polynoom P (t) = t² + 4t -3 uit als een lineaire combinatie van P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t en P3 (t) = t + 3.

Oplossing

P (t) = X P1 (t) + Y P2 (t) + z P3 (t)

waar de getallen x, y, z moeten worden bepaald.

Door termen met dezelfde graad in t te vermenigvuldigen en te groeperen, krijgen we:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Dat leidt ons tot het volgende stelsel van vergelijkingen:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

De oplossingen van dit stelsel vergelijkingen zijn:

x = -3, y = 2, z = 4.

Dat is:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Oefening 3

Laat zien dat de vectoren v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) en v3 = (2, 1, -1, 1) van R⁴ zijn lineair onafhankelijk.

Oplossing

We combineren lineair de drie vectoren v1 , v2 , v3 en eisen dat de combinatie het nulelement van R⁴ toevoegt

een v1 + b v2 + c v3 = 0

Het is te zeggen,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Dit leidt ons tot het volgende stelsel vergelijkingen:

een + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 een + b + c = 0

Als we de eerste en de vierde aftrekken, hebben we: -a + c = 0 wat a = c impliceert.

Maar als we naar de derde vergelijking kijken, hebben we dat a = -c. De enige manier waarop a = c = (- c) geldt, is dat c 0 is en dus a ook 0 zal zijn.

a = c = 0

Als we dit resultaat in de eerste vergelijking stoppen, concluderen we dat b = 0.

Tenslotte a = b = c = 0, zodat geconcludeerd kan worden dat de vectoren v1, v2 en v3 lineair onafhankelijk zijn.

Referenties

1. Lipschutz, S. 1993. Lineaire algebra. Tweede druk. McGraw-Hill. 167-198.