ENEAGON: EIGENSCHAPPEN, HOE EEN ENEAGON TE MAKEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE

Een enegon is een veelhoek met negen zijden en negen hoekpunten, die al dan niet regelmatig zijn. De naam eneágono komt uit het Grieks en bestaat uit de Griekse woorden ennea (negen) en gonon (hoek).

Een alternatieve naam voor de negenzijdige veelhoek is nonagon, die afkomstig is van het Latijnse woord nonus (negen) en gonon (hoekpunt). Aan de andere kant, als de zijkanten of hoeken van het eneagon ongelijk aan elkaar zijn, dan heb je een onregelmatig eneagon. Als, aan de andere kant, alle negen zijden en negen hoeken van het eneagon gelijk zijn, dan is het een regelmatig eneagon.

Figuur 1. Regelmatig eneagon en onregelmatig eneagon. (Eigen uitwerking)

Eigenschappen van de eneagon

Voor een veelhoek met n zijden is de som van de binnenhoeken:

(n - 2) * 180º

In de enegon zou het n = 9 zijn, dus de som van de interne hoeken is:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

In elke veelhoek is het aantal diagonalen:

D = n (n - 3) / 2 en in het geval van de enegon, aangezien n = 9, hebben we dan D = 27.

Regelmatige enegon

In het reguliere eneagon of nonagon zijn er negen (9) interne hoeken van gelijke grootte, daarom meet elke hoek een negende van de totale som van de interne hoeken.

De maat van de interne hoeken van een enegon is dan 1260º / 9 = 140º.

Figuur 2. Apothema, straal, zijden, hoeken en hoekpunten van een regelmatige eneagon. (Eigen uitwerking)

Om de formule voor de oppervlakte van een regelmatige enegon met zijde d af te leiden, is het handig om enkele hulpconstructies te maken, zoals die in figuur 2.

De middelste O wordt gevonden door de middelloodlijnen van twee aangrenzende zijden te volgen. Het centrum O op gelijke afstand van de hoekpunten.

Een straal met lengte r is het segment van het midden O tot een hoekpunt van de enegon. Figuur 2 toont de stralen OD en OE van lengte r.

De apothema is het segment dat van het midden naar het midden van een kant van de enegon gaat. OJ is bijvoorbeeld een apothema waarvan de lengte a is.

Het gebied van een enegon kent de zijkant en de apothema

We beschouwen de driehoek ODE in figuur 2. De oppervlakte van deze driehoek is het product van de basis DE en de hoogte OJ gedeeld door 2:

ODE-gebied = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Omdat er 9 driehoeken van gelijke oppervlakte in de enegon zijn, wordt geconcludeerd dat de oppervlakte daarvan is:

Enegon gebied = (9/2) (d * a)

Gebied van een bekende enegon de zijkant

Als alleen de lengte d van de zijkanten van de enegon bekend is, is het nodig om de lengte van het apothema te vinden om de formule in de vorige paragraaf toe te passen.

We beschouwen de rechthoekige driehoek OJE in J (zie figuur 2). Als de tangens trigonometrische verhouding wordt toegepast, verkrijgen we:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

De hoek ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, aangezien EO de middelloodlijn is van de interne hoek van de enegon.

Aan de andere kant is OJ de apothema van lengte a.

Aangezien J het middelpunt van ED is, volgt daaruit dat EJ = d / 2.

Als we de vorige waarden in de tangensrelatie vervangen, hebben we:

tan (70º) = a / (d / 2).

Nu wissen we de lengte van de apothema:

a = (d / 2) tan (70º).

Het vorige resultaat wordt vervangen in de gebiedsformule om het volgende te krijgen:

Oppervlakte van de enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Ten slotte vinden we de formule die het mogelijk maakt om de oppervlakte van de reguliere enegon te bepalen als alleen de lengte d van de zijkanten bekend is:

Oppervlakte van de enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Omtrek van regelmatige enegon kende zijn kant

De omtrek van een veelhoek is de som van de zijden. In het geval van de enegon, aangezien elk van de zijden een lengte d meet, is de omtrek de som van negen keer d, dat wil zeggen:

Omtrek = 9 d

Omtrek van de enegon bekende zijn straal

Gezien de rechthoekige driehoek OJE in J (zie figuur 2), wordt de trigonometrische cosinusverhouding toegepast:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Waar komt het vandaan:

d = 2r cos (70º)

Als we dit resultaat vervangen, krijgen we de formule voor de omtrek als functie van de straal van de enegon:

Omtrek = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Hoe maak je een regelmatige enegon

1- Om een regelmatig eneagon te bouwen, met een liniaal en een kompas, gaan we uit van de omtrek c die het eneagon omringt. (zie figuur 3)

2- Twee loodrechte lijnen worden door het midden O van de omtrek getrokken. Vervolgens worden de snijpunten A en B van een van de lijnen gemarkeerd met de omtrek.

3- Met het kompas, gecentreerd op het snijpunt B en de opening gelijk aan de straal BO, wordt een boog getekend die de oorspronkelijke omtrek onderschept op een punt C.

Figuur 3. Stappen om een regelmatige enegon te bouwen. (Eigen uitwerking)

4- De vorige stap wordt herhaald, maar door een middelpunt te maken op A en straal AO, wordt een boog getekend die de omtrek c op punt E onderschept.

5- Met opening AC en midden in A wordt een omtrekboog getekend. Evenzo wordt bij opening BE en middelpunt B een andere boog getekend. Het snijpunt van deze twee bogen is gemarkeerd als punt G.

6- Centrerend bij G en opening GA, wordt een boog getekend die de secundaire as (in dit geval horizontaal) op punt H onderschept. Het snijpunt van de secundaire as met de oorspronkelijke omtrek c is gemarkeerd als I.

7- De lengte van het segment IH is gelijk aan de lengte d van de zijkant van de enegon.

8- Met kompasopening IH = d, worden achtereenvolgens de bogen van straal AJ middelpunt AJ, straal AK middelpunt J, straal KL middelpunt K en straal LP middelpunt L achtereenvolgens getekend.

9- Evenzo worden vanaf A en vanaf de rechterkant bogen met straal IH = d getekend die punten M, N, C en Q op de oorspronkelijke omtrek c markeren.

10- Ten slotte worden de segmenten AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ en tenslotte PB getekend.

Opgemerkt moet worden dat de constructiemethode niet helemaal exact is, aangezien kan worden vastgesteld dat de laatste zijde PB 0,7% langer is dan de andere zijden. Tot op heden is er geen bekende constructiemethode met een liniaal en kompas die 100% nauwkeurig is.

Voorbeelden

Hier zijn enkele uitgewerkte voorbeelden.

voorbeeld 1

We willen een regelmatige enegon bouwen waarvan de zijkanten 2 cm meten. Welke straal moet de omtrek hebben die deze omschrijft, zodat door toepassing van de eerder beschreven constructie het gewenste resultaat wordt verkregen?

In een vorige paragraaf werd de formule afgeleid die de straal r van de omgeschreven cirkel relateert aan de zijde d van een regelmatige enegon:

d = 2r cos (70º)

Oplossend voor r uit de vorige uitdrukking hebben we:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Het vervangen van de waarde d = 2 cm in de vorige formule geeft een straal r van 2,92 cm.

Voorbeeld 2

Wat is de oppervlakte van een gewone enegon met een zijde van 2 cm?

Om deze vraag te beantwoorden, moeten we verwijzen naar de eerder getoonde formule waarmee we het gebied van een bekende enegon kunnen vinden door de lengte d van zijn zijde: