4 FACTORINGOEFENINGEN MET OPLOSSINGEN - WISKUNDE - 2025

De oefeningen in factorisatie helpen bij het begrijpen van deze techniek, die veel wordt gebruikt in de wiskunde en die bezig is met het schrijven van een som als een product van bepaalde termen.

Het woord factorisatie verwijst naar factoren, dit zijn termen die andere termen vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld, in de priemfactorisatie van een natuurlijk getal, worden de betrokken priemgetallen factoren genoemd.

Dat wil zeggen, 14 kan worden geschreven als 2 * 7. In dit geval zijn de priemfactoren van 14 2 en 7. Hetzelfde geldt voor polynomen van reële variabelen.

Dat wil zeggen, als je een polynoom P (x) hebt, dan bestaat het ontbinden van de polynoom uit het schrijven van P (x) als het product van andere polynomen met een graad kleiner dan de graad van P (x).

Factoring

Er worden verschillende technieken gebruikt om een ​​polynoom te factoriseren, waaronder opmerkelijke producten en het berekenen van de wortels van het polynoom.

Als we een tweedegraads polynoom P (x) hebben, en x1 en x2 de echte wortels van P (x) zijn, dan kan P (x) worden meegerekend als "a (x-x1) (x-x2)", waarbij "a" de coëfficiënt is die de kwadratische macht vergezelt.

Hoe worden de wortels berekend?

Als het polynoom van graad 2 is, kunnen de wortels worden berekend met de formule genaamd "het oplossend vermogen".

Als het polynoom van graad 3 of meer is, wordt meestal de Ruffini-methode gebruikt om de wortels te berekenen.

4 factoring-oefeningen

Eerste oefening

Factor de volgende polynoom: P (x) = x²-1.

Oplossing

Het is niet altijd nodig om het oplossend middel te gebruiken. In dit voorbeeld kun je een opmerkelijk product gebruiken.

Als we het polynoom als volgt herschrijven, kunnen we zien welk opmerkelijk product we moeten gebruiken: P (x) = x² - 1².

Gebruikmakend van het opmerkelijke product 1, verschil van kwadraten, hebben we dat de polynoom P (x) als volgt kan worden ontbonden: P (x) = (x + 1) (x-1).

Dit geeft verder aan dat de wortels van P (x) x1 = -1 en x2 = 1 zijn.

Tweede oefening

Factor de volgende polynoom: Q (x) = x³ - 8.

Oplossing

Er is een opmerkelijk product dat het volgende zegt: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Dit wetende, kan de polynoom Q (x) als volgt worden herschreven: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Nu we het beschreven opmerkelijke product gebruiken, hebben we dat de factorisatie van het polynoom Q (x) is Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Het kwadratische polynoom dat in de vorige stap is ontstaan, moet nog worden ontbonden. Maar als je ernaar kijkt, kan Remarkable Product 2 helpen; daarom wordt de uiteindelijke factorisatie van Q (x) gegeven door Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Dit zegt dat één wortel van Q (x) x1 = 2 is, en dat x2 = x3 = 2 de andere wortel van Q (x) is, die wordt herhaald.

Derde oefening

Factor R (x) = x² - x - 6.

Oplossing

Wanneer een opmerkelijk product niet kan worden gedetecteerd, of de nodige ervaring om de uitdrukking te manipuleren niet beschikbaar is, gaan we verder met het gebruik van het resolvent. De waarden zijn als volgt a = 1, b = -1 en c = -6.

Als u ze in de formule vervangt, resulteert dit in x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 )/twee.

Vanaf hier zijn er twee oplossingen die de volgende zijn:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Daarom kan het polynoom R (x) worden meegerekend als R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Vierde oefening

Factor H (x) = x³ - x² - 2x.

Oplossing

In deze oefening kunnen we beginnen met het nemen van de gemeenschappelijke factor x en we verkrijgen dat H (x) = x (x²-x-2).

Daarom blijft het alleen om de kwadratische polynoom te ontbinden. Door het resolvent opnieuw te gebruiken, hebben we dat de wortels zijn:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Daarom zijn de wortels van het kwadratische polynoom x1 = 1 en x2 = -2.

Concluderend wordt de factorisatie van het polynoom H (x) gegeven door H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referenties

1. 1. Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
   2. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
   3. Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
   5. Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
   6. Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.