KRACHTREEKS: VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

Een machtreeks bestaat uit een sommatie van termen in de vorm van machten van de variabele x, of meer in het algemeen, van xc, waarbij c een constant reëel getal is. In sommatie wordt een reeks machten als volgt uitgedrukt:

Waar de coëfficiënten a _o , a ₁ , a ₂ … reële getallen zijn en de reeks begint bij n = 0.

Figuur 1. Definitie van een vermogensreeks. Bron: F. Zapata.

Deze reeks is gecentreerd rond de waarde c die constant is, maar je kunt ervoor kiezen dat c gelijk is aan 0, in welk geval de machtreeks vereenvoudigt tot:

De reeks begint met respectievelijk a _of (xc) ⁰ en a _of x ⁰ . Maar we weten dat:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Daarom a _o (xc) ⁰ = a _of x ⁰ = a _o (onafhankelijke term)

Het mooie van power series is dat er functies mee uitgedrukt kunnen worden en dat heeft veel voordelen, zeker als je met een ingewikkelde functie wilt werken.

Wanneer dit het geval is, gebruik dan in plaats van de functie rechtstreeks te gebruiken de uitbreiding van de vermogensreeks, die gemakkelijker kan worden afgeleid, geïntegreerd of numeriek kan worden gewerkt.

Alles is natuurlijk afhankelijk van de convergentie van de serie. Een reeks convergeert wanneer het toevoegen van een bepaald groot aantal termen een vaste waarde geeft. En als we nog meer termen toevoegen, blijven we die waarde verkrijgen.

Functioneert als Power Series

Als voorbeeld van een functie uitgedrukt als een machtreeks, nemen we f (x) = e ^x .

Deze functie kan als volgt worden uitgedrukt in termen van een reeks bevoegdheden:

en ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3 te zien!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5 Foto) + …

Waar! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … en er zijn 0 nodig! = 1.

We gaan met behulp van een rekenmachine controleren of de reeks inderdaad overeenkomt met de expliciet gegeven functie. Laten we bijvoorbeeld beginnen met x = 0 te maken.

We weten dat e ⁰ = 1. Laten we eens kijken wat de reeks doet:

en ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3 te zien!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5 Foto) + … = 1

En laten we nu x = 1 proberen. Een rekenmachine geeft als resultaat dat e ¹ = 2,71828, en laten we het dan vergelijken met de reeks:

en ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3 te zien!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5 Foto) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Met slechts 5 termen hebben we al een exacte overeenkomst in e ≈ 2,71. Onze serie heeft nog net iets meer te gaan, maar naarmate er meer termen worden toegevoegd, convergeert de serie zeker naar de exacte waarde van e. De weergave is exact als n → ∞.

Als de vorige analyse wordt herhaald voor n = 2, worden zeer vergelijkbare resultaten verkregen.

Op deze manier zijn we er zeker van dat de exponentiële functie f (x) = e ^x gerepresenteerd kan worden door deze reeks machten:

Figuur 2. In deze animatie kunnen we zien hoe de machtreeks dichter bij de exponentiële functie komt naarmate er meer termen worden gebruikt. Bron: Wikimedia Commons.

Geometrische reeks bevoegdheden

De functie f (x) = e ^x is niet de enige functie die een machtreeksweergave ondersteunt. De functie f (x) = 1/1 - x lijkt bijvoorbeeld veel op de bekende convergente geometrische reeks:

Het volstaat om a = 1 en r = x te doen om een ​​reeks te krijgen die geschikt is voor deze functie, die gecentreerd is op c = 0:

Het is echter bekend dat deze reeks convergent is voor │r│ <1, daarom is de representatie alleen geldig in het interval (-1,1), hoewel de functie geldig is voor alle x, behalve x = 1.

Als u deze functie in een ander bereik wilt definiëren, concentreert u zich eenvoudig op een geschikte waarde en bent u klaar.

Hoe de reeksuitbreidingen van bevoegdheden van een functie te vinden

Elke functie kan worden ontwikkeld in een machtsreeks gecentreerd op c, zolang deze afgeleiden heeft van alle ordes op x = c. De procedure maakt gebruik van de volgende stelling, genaamd de stelling van Taylor:

Laat f (x) een functie zijn met afgeleiden van de orde n, aangeduid als f ⁽ⁿ⁾ , die een reeksuitbreiding van machten op het interval I toelaat. Zijn seriële ontwikkeling van Taylor is:

Zodat:

Waarbij R _n , de nde term van de reeks, een rest wordt genoemd:

Als c = 0 wordt de reeks de Maclaurin-reeks genoemd.

Deze reeks die hier wordt gegeven, is identiek aan de reeks die aan het begin is gegeven, alleen hebben we nu een manier om expliciet de coëfficiënten van elke term te vinden, gegeven door:

We moeten er echter voor zorgen dat de reeks convergeert naar de functie die moet worden weergegeven. Het komt voor dat niet elke Taylor-reeks noodzakelijkerwijs convergeert naar de f (x) die in gedachten was bij het berekenen van de coëfficiënten bij _n .

Dit gebeurt omdat misschien de afgeleiden van de functie, geëvalueerd op x = c, samenvallen met dezelfde waarde van de afgeleiden van een ander, ook op x = c. In dit geval zouden de coëfficiënten hetzelfde zijn, maar de ontwikkeling zou dubbelzinnig zijn omdat het niet zeker is met welke functie deze overeenkomt.

Gelukkig is er een manier om te weten:

Convergentiecriterium

Om dubbelzinnigheid te voorkomen, als R _n → 0 als n → ∞ voor alle x in het interval I, convergeert de reeks naar f (x).

Oefening

- Oefening opgelost 1

Zoek de geometrische machtsreeks voor de functie f (x) = 1/2 - x gecentreerd op c = 0.

Oplossing

De gegeven functie moet zo worden uitgedrukt dat deze zo dicht mogelijk samenvalt met 1 / 1- x, waarvan de reeks bekend is. Laten we dus de teller en de noemer herschrijven, zonder de oorspronkelijke uitdrukking te wijzigen:

1/2 - x = (1/2) /

Omdat ½ constant is, komt het uit de sommatie en wordt het geschreven in termen van de nieuwe variabele x / 2:

Merk op dat x = 2 niet tot het domein van de functie behoort, en volgens het convergentiecriterium gegeven in de sectie Geometrische Power Series, is de uitbreiding geldig voor │x / 2│ <1 of equivalent -2 <x <2.

- Oefening opgelost 2

Vind de eerste 5 termen van de Maclaurin-reeksuitbreiding van de functie f (x) = sin x.

Oplossing

Stap 1

Ten eerste zijn de afgeleiden:

-Afgeleide van orde 0: het is dezelfde functie f (x) = sin x

-Eerste afgeleide: (sin x) ´ = cos x

-Tweede afgeleide: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Derde afgeleide: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Vierde afgeleide: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Stap 2

Vervolgens wordt elke afgeleide geëvalueerd op x = c, net als een Maclaurin-uitbreiding, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; zonde 0 = 0

Stap 3

De coëfficiënten a _{n worden geconstrueerd} ;

een _o = 0/0! = 0; een ₁ = 1/1! = 1; een ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; een ₄ = 0/4! = 0

Stap 4

Ten slotte wordt de serie samengesteld volgens:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1 x ¹ + 0 .x ² - (! 1/3) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (! 1/3)) x ³ + …

Heeft de lezer meer termen nodig? Hoeveel meer, de serie staat dichter bij de functie.

Merk op dat er een patroon in de coëfficiënten zit, de volgende niet-nul term is een ₅ en al diegenen met een oneven index verschillen ook van 0, waarbij de tekens worden afgewisseld, zodat:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Het blijft een oefening om te controleren of het convergeert, het quotiëntcriterium kan worden gebruikt voor de convergentie van reeksen.

Referenties

1. Stichting CK-12. Power Series: weergave van functies en bewerkingen. Hersteld van: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integrale calculus. Nationale Universiteit van de Litoral.
3. Larson, R. 2010. Berekening van een variabele. 9e. Editie. McGraw Hill.
4. Wiskunde gratis teksten. Kracht series. Hersteld van: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Kracht series. Hersteld van: es.wikipedia.org.