De regel Sturges is een criterium dat wordt gebruikt om het aantal klassen of bereiken te bepalen dat nodig is voor het plotten van een set statistische gegevens. Deze regel werd in 1926 uitgesproken door de Duitse wiskundige Herbert Sturges.
Sturges stelde een eenvoudige methode voor, gebaseerd op het aantal steekproeven x, waarmee we het aantal klassen en hun bereikbreedte konden vinden. De regel van Sturges wordt veel gebruikt, vooral op het gebied van statistiek, met name om frequentiehistogrammen te construeren.
Uitleg
De regel van Sturges is een empirische methode die veel wordt gebruikt in beschrijvende statistieken om het aantal klassen te bepalen dat moet bestaan in een frequentiehistogram, om een set gegevens te classificeren die een steekproef of populatie vertegenwoordigen.
In feite bepaalt deze regel de breedte van de grafische containers, van de frequentiehistogrammen.
Om zijn regel vast te stellen beschouwde Herbert Sturges een ideaal frequentiediagram, bestaande uit K-intervallen, waarbij het i-de interval een bepaald aantal samples bevat (i = 0, … k - 1), weergegeven als:
Dat aantal samples wordt bepaald door het aantal manieren waarop een subset van een set kan worden geëxtraheerd; dat wil zeggen door de binominale coëfficiënt, uitgedrukt als volgt:
Om de uitdrukking te vereenvoudigen, paste hij de eigenschappen van logaritmen toe op beide delen van de vergelijking:
Zo stelde Sturges vast dat het optimale aantal intervallen k wordt gegeven door de uitdrukking:
Het kan ook worden uitgedrukt als:
In deze uitdrukking:
- k is het aantal klassen.
- N is het totale aantal waarnemingen in de steekproef.
- Log is de algemene logaritme van grondtal 10.
Als u bijvoorbeeld een frequentiehistogram wilt maken dat een willekeurige steekproef van 142 kinderlengte uitdrukt, is het aantal intervallen of klassen dat de verdeling zal hebben:
k = 1 + 3.322 * logboek 10 (N)
k = 1 + 3.322 * logboek (142)
k = 1 + 3.322 * 2.1523
k = 8,14 ≈ 8
De verdeling is dus in 8 intervallen.
Het aantal intervallen moet altijd worden weergegeven door hele getallen. In gevallen waarin de waarde een decimaal getal is, moet een benadering worden gemaakt naar het dichtstbijzijnde gehele getal.
Toepassingen
De regel van Sturges wordt voornamelijk toegepast in de statistiek, omdat hiermee een frequentieverdeling kan worden gemaakt door het aantal klassen (k) te berekenen, evenals de lengte van elk van deze, ook wel amplitude genoemd.
De amplitude is het verschil tussen de boven- en ondergrens van de klasse, gedeeld door het aantal klassen, en wordt uitgedrukt:
Er zijn veel vuistregels die het mogelijk maken een frequentieverdeling te maken. De regel van Sturges wordt echter vaak gebruikt omdat deze het aantal klassen benadert, dat over het algemeen varieert van 5 tot 15.
Het beschouwt dus een waarde die een steekproef of populatie adequaat vertegenwoordigt; dat wil zeggen, de benadering vertegenwoordigt geen extreme groeperingen, noch werkt het met een buitensporig aantal klassen waardoor de steekproef niet kan worden samengevat.
Voorbeeld
Er moet een frequentiehistogram worden gemaakt op basis van de gegeven gegevens, die overeenkomen met de leeftijden die zijn verkregen in een onderzoek onder mannen die trainen in een plaatselijke sportschool.
Om de intervallen te bepalen, moet men de grootte van de steekproef of het aantal waarnemingen kennen; in dit geval zijn er 30.
Dan is de regel van Sturges van toepassing:
k = 1 + 3.322 * logboek 10 (N)
k = 1 + 3.322 * logboek (30)
k = 1 + 3.322 * 1.4771
k = 5,90 ≈ 6 intervallen.
Uit het aantal intervallen kan de amplitude worden berekend die deze zullen hebben; dat wil zeggen, de breedte van elke staaf weergegeven in het frequentiehistogram:
De ondergrens wordt beschouwd als de kleinste waarde van de gegevens en de bovengrens is de grootste waarde. Het verschil tussen de boven- en ondergrens wordt het bereik of bereik van de variabele (R) genoemd.
Uit de tabel blijkt dat de bovengrens 46 is en de ondergrens 13; dus de amplitude van elke klasse zal zijn:
De intervallen bestaan uit een boven- en ondergrens. Om deze intervallen te bepalen, beginnen we met tellen vanaf de ondergrens, waarbij we de amplitude die bepaald wordt door regel (6), op de volgende manier optellen:
Vervolgens wordt de absolute frequentie berekend om het aantal mannen te bepalen dat overeenkomt met elk interval; in dit geval is het:
- Interval 1:13 - 18 = 9
- Interval 2:19 - 24 = 9
- Interval 3:25 - 30 = 5
- Interval 4:31 - 36 = 2
- Interval 5:37 - 42 = 2
- Interval 6: 43 - 48 = 3
Bij het optellen van de absolute frequentie van elke klasse, moet deze gelijk zijn aan het totale aantal monsters; in dit geval 30.
Vervolgens wordt de relatieve frequentie van elk interval berekend, waarbij de absolute frequentie wordt gedeeld door het totale aantal waarnemingen:
- Interval 1: fi = 9 ÷ 30 = 0,30
- Interval 2: fi = 9 ÷ 30 = 0,30
- Interval 3: fi = 5 ÷ 30 = 0,1666
- Interval 4: fi = 2 ÷ 30 = 0,0666
- Interval 5: fi = 2 ÷ 30 = 0,0666
- Interval 4: fi = 3 ÷ 30 = 0,10
Vervolgens kun je een tabel maken die de gegevens weergeeft, en ook het diagram van de relatieve frequentie in relatie tot de verkregen intervallen, zoals te zien is in de volgende afbeeldingen:
Op deze manier maakt de Sturges-regel het mogelijk het aantal klassen of intervallen te bepalen waarin een steekproef kan worden onderverdeeld, om een gegevenssteekproef samen te vatten door middel van tabellen en grafieken.
Referenties
- Alfonso Urquía, MV (2013). Modellering en simulatie van discrete gebeurtenissen. UNED,.
- Altman Naomi, MK (2015). "Eenvoudige lineaire regressie." Nature Methods.
- Antúnez, RJ (2014). Statistieken in het onderwijs. Digitale EENHEID.
- Fox, J. (1997.). Toegepaste regressieanalyse, lineaire modellen en gerelateerde methoden. SAGE-publicaties.
- Humberto Llinás Solano, CR (2005). Beschrijvende statistieken en kansverdelingen. Northern University.
- Panteleeva, OV (2005). Fundamentals of Probability and Statistics.
- O. Kuehl, MO (2001). Ontwerp van experimenten: statistische principes van onderzoeksontwerp en analyse. Thomson Editors.