SIMPSONS REGEL: FORMULE, BEWIJS, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De regel van Simpson is een methode om bij benadering bepaalde integralen te berekenen. Het is gebaseerd op het verdelen van het integratie-interval in een even aantal gelijkmatig verdeelde subintervallen.

De uiterste waarden van twee opeenvolgende subintervallen definiëren drie punten waarop een parabool, waarvan de vergelijking een tweedegraads polynoom is, past.

Figuur 1. Bij de methode van Simpson wordt het integratie-interval onderverdeeld in een even aantal intervallen van gelijke breedte. De functie wordt benaderd door een parabool in elke 2 subintervallen en de integraal wordt benaderd door de som van het oppervlak onder de parabolen. Bron: upv.es.

Vervolgens wordt het gebied onder de curve van de functie in de twee opeenvolgende intervallen benaderd door het gebied van het interpolatiepolynoom. Als we de bijdrage aan het gebied onder de parabool van alle opeenvolgende subintervallen toevoegen, hebben we de geschatte waarde van de integraal.

Aan de andere kant, aangezien de integraal van een parabool algebraïsch exact kan worden berekend, is het mogelijk om een ​​analytische formule te vinden voor de geschatte waarde van de bepaalde integraal. Het staat bekend als de Simpson-formule.

De fout van het aldus verkregen resultaat bij benadering neemt af naarmate het aantal onderverdelingen n groter is (waarbij n een even getal is).

Hieronder zal een uitdrukking worden gegeven die het mogelijk maakt om de bovengrens van de fout van de benadering tot de integraal I te schatten, wanneer een verdeling van n reguliere subintervallen van het totale interval is gemaakt.

Formule

Het integratie-interval is onderverdeeld in n subintervallen waarbij n een even geheel getal is. De breedte van elke onderverdeling is:

h = (b - a) / n

Op deze manier wordt de partitie gemaakt over het interval:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Waar X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

De formule die het mogelijk maakt om de bepaalde integraal I van de continue en bij voorkeur gladde functie in het interval te benaderen is:

Demonstratie

Om de formule van Simpson te verkrijgen, wordt in elk subinterval de functie f (X) benaderd door een tweedegraads polynoom p (X) (parabool) die door de drie punten gaat :; en.

Vervolgens wordt de integraal van het polynoom p (x) waarin het de integraal van de functie f (X) in dat interval benadert, berekend.

Figuur 2. Grafiek om de formule van Simpson te demonstreren. Bron: F. Zapata.

Coëfficiënten van het interpolatiepolynoom

De vergelijking van de parabool p (X) heeft de algemene vorm: p (X) = AX ² + BX + C.Als de parabool door de punten Q gaat die in rood zijn aangegeven (zie figuur), dan zijn de coëfficiënten A, B, C worden bepaald uit het volgende stelsel vergelijkingen:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

EEN (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Het is te zien dat de coëfficiënt C wordt bepaald. Om de coëfficiënt A te bepalen, voegen we de eerste en derde vergelijking toe en verkrijgen we:

2 EEN h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Vervolgens wordt de waarde van C vervangen en wordt A gewist, waardoor:

A = / (2 uur ² )

Om de coëfficiënt B te bepalen, wordt de derde vergelijking afgetrokken van de eerste en wordt B opgelost, met als resultaat:

B = = 2 uur.

Samengevat heeft het tweedegraads polynoom p (X) dat door de punten Qi, Qi + 1 en Qi + 2 gaat, coëfficiënten:

A = / (2 uur ² )

B = = 2 uur

C = f (Xi + 1)

Berekening van de geschatte integraal in

Geschatte berekening van de integraal in

Zoals eerder vermeld, wordt een partitie {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} gemaakt over het totale integratie-interval met stap h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, waarbij n is een even getal.

Benaderingsfout

Merk op dat de fout afneemt met de vierde macht van het aantal onderverdelingen in het interval. Ga je bijvoorbeeld van n onderverdelingen naar 2n, dan neemt de fout met een factor 1/16 af.

De bovengrens van de fout verkregen door Simpsons benadering kan worden verkregen uit dezelfde formule, waarbij de vierde afgeleide wordt vervangen door de maximale absolute waarde van de vierde afgeleide in het interval.

Uitgewerkte voorbeelden

- Voorbeeld 1

Beschouw de functie f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Vind de definitieve integraal van de functie f (X) op het interval met behulp van de Simpson-methode met twee onderverdelingen (n = 2).

Oplossing

We nemen n = 2. De limieten van integratie zijn a = -1 en b = -2, dus de partitie ziet er als volgt uit:

X0 = -1; X1 = 0 en X2 = +1.

Daarom heeft de formule van Simpson de volgende vorm:

Figuur 3. Voorbeeld van numerieke integratie volgens de regel van Simpson met behulp van software. Bron: F. Zapata.

Referenties

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (geïllustreerde editie). Madrid: ESIC-redactie.
2. UPV. Simpson's methode. Polytechnische universiteit van Valencia. Hersteld van: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Ninth Edition. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpson's regel. Hersteld van: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polynoom interpolatie. Hersteld van: es.wikipedia.com