- Vergelijkingen
- Vergelijking van de lijn in het vlak
- Voorbeelden van schuine lijnen
- Lichtstralen
- Lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen
- Referenties
De schuine lijnen zijn die welke schuin staan, hetzij ten opzichte van een plat oppervlak of een andere lijn die een bepaald adres aangeeft. Beschouw als voorbeeld de drie lijnen die in een vlak zijn getekend en die in de volgende afbeelding verschijnen.
We kennen hun respectievelijke relatieve posities omdat we ze vergelijken met een referentielijn, meestal de x-as die de horizontaal aangeeft.
Figuur 1. Verticale, horizontale en schuine lijnen in hetzelfde vlak. Bron: F. Zapata.
Op deze manier, door de horizontale lijn als referentie te kiezen, is de lijn aan de linkerkant verticaal, die in het midden is horizontaal en die aan de rechterkant is schuin, aangezien hij schuin staat ten opzichte van de dagelijkse referentielijnen.
Nu nemen de lijnen die zich in hetzelfde vlak bevinden, zoals het oppervlak van het papier of het scherm, verschillende posities ten opzichte van elkaar in, afhankelijk van of ze elkaar kruisen of niet. In het eerste geval zijn het secanslijnen, terwijl ze in het tweede geval parallel zijn.
Aan de andere kant kunnen de secanslijnen schuine lijnen of loodrechte lijnen zijn. In beide gevallen zijn de hellingen van de lijnen verschillend, maar de schuine lijnen vormen hoeken α en β ertussen, verschillend van 90º, terwijl de hoeken bepaald door de loodrechte lijnen altijd 90º zijn.
De volgende afbeelding vat deze definities samen:
Figuur 2. Relatieve posities tussen lijnen: parallel, schuin en loodrecht verschillen in de hoek die ze met elkaar vormen. Bron: F. Zapata.
Vergelijkingen
Om de relatieve posities van de lijnen in het vlak te kennen, is het noodzakelijk om de hoek ertussen te kennen. Merk op dat de regels zijn:
Parallel : als ze dezelfde helling hebben (dezelfde richting) en elkaar nooit snijden, zijn hun punten daarom op gelijke afstand van elkaar.
Toevalligheden : wanneer alle punten samenvallen en dus dezelfde helling hebben, maar de afstand tussen de punten nul is.
Drogers : als hun hellingen verschillend zijn, varieert de afstand tussen hun punten en is de kruising één punt.
Dus een manier om te weten of twee lijnen in het vlak secans of parallel zijn, is door hun helling. De criteria van parallellisme en loodrechtheid van de lijnen zijn de volgende:
Als we de hellingen van twee lijnen in het vlak kennen en aan geen van de bovenstaande criteria wordt voldaan, concluderen we dat de lijnen schuin zijn. Als we twee punten op een lijn kennen, wordt de helling onmiddellijk berekend, zoals we in de volgende sectie zullen zien.
Je kunt erachter komen of twee lijnen secans of parallel zijn door hun snijpunt te vinden en het stelsel van vergelijkingen dat ze vormen op te lossen: als er een oplossing is, zijn ze secans, als er geen oplossing is, zijn ze parallel, maar als de oplossingen oneindig zijn, vallen de lijnen samen.
Dit criterium informeert ons echter niet over de hoek tussen deze lijnen, zelfs niet als ze elkaar snijden.
Om de hoek tussen de lijnen te kennen, hebben we twee vectoren u en v nodig die bij elk van hen horen. Het is dus mogelijk om de hoek die ze vormen te kennen door middel van het scalaire product van de vectoren, op deze manier gedefinieerd:
u • v = uvcos α
Vergelijking van de lijn in het vlak
Een lijn in het cartesiaanse vlak kan op verschillende manieren worden weergegeven, zoals:
- Helling- snijpuntvorm : als m de helling van de lijn is en b het snijpunt is van de lijn met de verticale as, is de vergelijking van de lijn y = mx + b.
- Algemene vergelijking van de lijn : Ax + By + C = 0, waarbij m = A / B de helling is.
In het cartesiaanse vlak zijn verticale en horizontale lijnen bijzondere gevallen van de vergelijking van de lijn.
- Verticale lijnen : x = a
- Horizontale lijnen : y = k
Figuur 3. Links de verticale lijn x = 4 en de horizontale lijn y = 6. Rechts een voorbeeld van een schuine lijn. Bron: F. Zapata.
In de voorbeelden in figuur 3 heeft de verticale rode lijn vergelijking x = 4, terwijl de lijn parallel aan de x-as (blauw) vergelijking y = 6 heeft. Wat betreft de lijn aan de rechterkant, zien we dat deze schuin is en om de vergelijking te vinden, gebruiken we de punten die in de figuur zijn gemarkeerd: (0,2) en (4,0) op deze manier:
De snede van deze lijn met de verticale as is y = 2, zoals te zien is in de grafiek. Met deze informatie:
Het bepalen van de hellingshoek ten opzichte van de x-as is eenvoudig. Ik voel dat:
Daarom is de positieve hoek van de x-as naar de lijn: 180º - 26,6º = 153,4º
Voorbeelden van schuine lijnen
Figuur 4. Voorbeelden van schuine lijnen. Bron: schermers Ian Patterson. De scheve toren van Pisa. Pixabay.
Op veel plaatsen verschijnen schuine lijnen, het is een kwestie van opletten om ze terug te vinden in architectuur, sport, elektrische bedrading, leidingen en nog veel meer plaatsen. In de natuur zijn ook de schuine lijnen aanwezig, zoals we hieronder zullen zien:
Lichtstralen
Zonlicht beweegt zich in een rechte lijn, maar de ronde vorm van de aarde beïnvloedt hoe zonlicht het oppervlak raakt.
In de onderstaande afbeelding kunnen we duidelijk zien dat de zonnestralen loodrecht toeslaan in tropische streken, maar in plaats daarvan schuin het oppervlak bereiken in gematigde streken en aan de polen.
Daarom leggen de zonnestralen een grotere afstand af door de atmosfeer en verspreidt ook de warmte zich over een groter oppervlak (zie figuur). Het resultaat is dat de gebieden bij de polen kouder zijn.
Figuur 5. De zonnestralen vallen schuin in de gematigde zones en de polen, in plaats daarvan staan ze min of meer loodrecht in de tropen. Bron: Wikimedia Commons.
Lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen
Als twee lijnen niet in hetzelfde vlak liggen, kunnen ze nog steeds schuin of kromgetrokken zijn, zoals ze ook worden genoemd. In dit geval zijn hun richtvectoren niet parallel, maar omdat ze niet tot hetzelfde vlak behoren, snijden deze lijnen elkaar niet.
De lijnen in figuur 6 rechts staan bijvoorbeeld duidelijk in verschillende vlakken. Als je ze van bovenaf bekijkt, kun je zien dat ze elkaar kruisen, maar ze hebben geen gemeenschappelijk punt. Rechts zien we de wielen van de fiets, waarvan de spaken van voren gezien lijken te kruisen.
Figuur 6. Schuine lijnen die bij verschillende vlakken horen. Bron: links F. Zapata, rechts Pixabay.
Referenties
- Geometrie. Directeur vector van een lijn. Hersteld van: juanbragado.es.
- Larson, R. 2006. Calculus met analytische meetkunde. 8e. Editie. McGraw Hill.
- Wiskunde is een spel. Lijnen en hoeken. Hersteld van: juntadeandalucia.es.
- Rechte lijnen die elkaar kruisen. Hersteld van: profesoraltuna.com.
- Villena, M. Analytische meetkunde in R3. Hersteld van: dspace.espol.edu.ec.