Het wordt relatief priem genoemd (coprime of zijn relatief priem ten opzichte van elkaar) tot elk paar gehele getallen geen andere gemeenschappelijke deler dan 1 hebben.
Met andere woorden, twee gehele getallen zijn relatieve priemgetallen als ze in hun ontleding in priemgetallen geen enkele factor gemeen hebben.
Als bijvoorbeeld 4 en 25 worden gekozen, zijn de priemfactoren van elk respectievelijk 2² en 5². Zoals te zien is, hebben deze geen gemeenschappelijke factoren, daarom zijn 4 en 25 relatieve priemgetallen.
Aan de andere kant, als 6 en 24 worden gekozen, krijgen we bij het uitvoeren van hun ontbinding in priemfactoren dat 6 = 2 * 3 en 24 = 2³ * 3.
Zoals u kunt zien, hebben deze laatste twee uitdrukkingen minstens één factor gemeen, daarom zijn het geen relatieve priemgetallen.
Relatieve neven
Een detail om op te letten is dat het zeggen dat een paar gehele getallen relatieve priemgetallen zijn, niet betekent dat een van hen een priemgetal is.
Aan de andere kant kan de bovenstaande definitie als volgt worden samengevat: twee gehele getallen "a" en "b" zijn relatieve priemgetallen als, en alleen als, de grootste gemene deler hiervan 1 is, dat wil zeggen ggd ( a, b) = 1.
Twee onmiddellijke conclusies uit deze definitie zijn dat:
-Als «a» (of «b») een priemgetal is, dan is ggd (a, b) = 1.
-Als «a» en «b» priemgetallen zijn, dan is ggd (a, b) = 1.
Dat wil zeggen, als ten minste één van de gekozen getallen een priemgetal is, dan is het paar getallen direct relatieve priemgetallen.
Andere mogelijkheden
Andere resultaten die worden gebruikt om te bepalen of twee getallen relatieve priemgetallen zijn, zijn:
-Als twee gehele getallen opeenvolgend zijn, zijn het relatieve priemgetallen.
-Twee natuurlijke getallen "a" en "b" zijn relatieve priemgetallen als, en alleen als, de getallen "(2 ^ a) -1" en "(2 ^ b) -1" relatieve priemgetallen zijn.
-Twee gehele getallen «a» en «b» zijn relatieve priemgetallen als, en alleen als, bij het plotten van het punt (a, b) in het cartesische vlak, en het construeren van de lijn die door de oorsprong gaat (0,0) en ( a, b), het bevat geen enkel punt met gehele coördinaten.
Voorbeelden
1.- Beschouw de gehele getallen 5 en 12. De decomposities in priemfactoren van beide getallen zijn respectievelijk: 5 en 2² * 3. Concluderend, gcd (5,12) = 1, daarom zijn 5 en 12 relatieve priemgetallen.
2.- Laat de nummers -4 en 6. Dan -4 = -2² en 6 = 2 * 3, zodat de LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Concluderend zijn -4 en 6 geen relatieve priemgetallen.
Als we doorgaan met het tekenen van de lijn die door de geordende paren (-4,6) en (0,0) gaat, en om de vergelijking van die lijn te bepalen, kan worden geverifieerd dat deze door het punt (-2,3) gaat.
Opnieuw wordt geconcludeerd dat -4 en 6 geen relatieve priemgetallen zijn.
3.- De nummers 7 en 44 zijn relatieve priemgetallen en het kan snel worden afgesloten dankzij wat hierboven is gezegd, aangezien 7 een priemgetal is.
4.- Beschouw de nummers 345 en 346. Omdat het twee opeenvolgende nummers zijn, wordt geverifieerd dat ggd (345,346) = 1, daarom zijn 345 en 346 relatieve priemgetallen.
5.- Als de nummers 147 en 74 worden beschouwd, dan zijn dit relatieve priemgetallen, aangezien 147 = 3 * 7² en 74 = 2 * 37, dus de LCD (147,74) = 1.
6. - De nummers 4 en 9 zijn relatieve priemgetallen. Om dit aan te tonen kan de tweede hierboven genoemde karakterisering worden gebruikt. Inderdaad, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 en 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
De verkregen getallen zijn 15 en 511. De priemfactorisaties van deze getallen zijn respectievelijk 3 * 5 en 7 * 73, zodat LCD (15.511) = 1.
Zoals u kunt zien, is het gebruik van de tweede karakterisering een langere en arbeidsintensievere klus dan het rechtstreeks verifiëren.
7.- Beschouw de cijfers -22 en -27. Vervolgens kunnen deze nummers als volgt worden herschreven: -22 = -2 * 11 en -27 = -3³. Daarom zijn de ggd (-22, -27) = 1, dus -22 en -27 zijn relatieve priemgetallen.
Referenties
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Inleiding tot de getaltheorie. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Rekenkundige elementen. Bibliotheek van de weduwen en kinderen van Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Basiscursus getaltheorie. Northern University.
- Guevara, MH (zd). De set van hele getallen. EUNED.
- Hoger Instituut voor lerarenopleiding (Spanje), JL (2004). Getallen, vormen en volumes in de omgeving van het kind. Ministerie van Onderwijs.
- Palmer, CI en Bibb, SF (1979). Praktische wiskunde: rekenen, algebra, meetkunde, trigonometrie en rekenliniaal (herdruk red.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Basis wiskunde en pre-algebra (geïllustreerd red.). Carrière Pers.
- Toral, C., en Preciado, M. (1985). 2e cursus wiskunde. Redactioneel Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., en Colorado, H. (2010). Basisprincipes van rekenen. ELIZCOM SAS