WAT ZIJN TRIGONOMETRISCHE LIMIETEN? (OEFENINGEN OPGELOST) - WISKUNDE - 2025

De trigonometrische limieten zijn limieten van functies zodat deze functies worden gevormd door trigonometrische functies.

Er zijn twee definities die bekend moeten zijn om te begrijpen hoe een trigonometrische limiet moet worden berekend.

Deze definities zijn:

- Beperking van een functie «f» wanneer «x» neigt naar «b»: het bestaat uit het berekenen van de waarde waarnaar f (x) nadert als «x» «b» nadert, zonder «b» te bereiken ».

- Trigonometrische functies: de trigonometrische functies zijn de sinus-, cosinus- en tangensfuncties, respectievelijk aangeduid met sin (x), cos (x) en tan (x).

De andere trigonometrische functies worden verkregen uit de drie bovengenoemde functies.

Functie limieten

Om het concept van een functielimiet te verduidelijken, laten we enkele voorbeelden zien met eenvoudige functies.

- De limiet van f (x) = 3 wanneer "x" neigt naar "8" is gelijk aan "3", aangezien de functie altijd constant is. Hoeveel "x" ook waard is, de waarde van f (x) zal altijd "3" zijn.

- De limiet van f (x) = x-2 wanneer «x» neigt naar «6» is «4». Omdat wanneer "x" "6" nadert, "x-2" "6-2 = 4" nadert.

- De limiet van g (x) = x² wanneer "x" neigt naar "3" is gelijk aan 9, aangezien wanneer "x" "3" nadert, "x²" "3² = 9" nadert .

Zoals te zien is in de voorgaande voorbeelden, bestaat het berekenen van een limiet uit het evalueren van de waarde waarnaar "x" neigt in de functie, en het resultaat is de waarde van de limiet, hoewel dit alleen geldt voor continue functies.

Zijn er meer gecompliceerde limieten?

Het antwoord is ja. De bovenstaande voorbeelden zijn de eenvoudigste voorbeelden van limieten. In rekenboeken zijn de belangrijkste limietoefeningen degene die een onbepaaldheid genereren van het type 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 en (∞) ^ 0.

Deze uitdrukkingen worden onbepaaldheden genoemd, omdat het uitdrukkingen zijn die wiskundig niet logisch zijn.

Bovendien, afhankelijk van de functies die betrokken zijn bij de oorspronkelijke limiet, kan het resultaat dat wordt verkregen bij het oplossen van de onbepaaldheden in elk geval verschillend zijn.

Voorbeelden van eenvoudige trigonometrische limieten

Om limieten op te lossen, is het altijd erg handig om de grafieken van de betrokken functies te kennen. De grafieken van de sinus-, cosinus- en tangensfuncties worden hieronder weergegeven.

Enkele voorbeelden van eenvoudige trigonometrische limieten zijn:

- Bereken de limiet van sin (x) wanneer «x» neigt naar «0».

Als je naar de grafiek kijkt, kun je zien dat als "x" dichter bij "0" komt (zowel van links als rechts), de sinusgrafiek ook dichter bij "0" komt. Daarom is de limiet van sin (x) wanneer "x" naar "0" neigt "0".

- Bereken de limiet van cos (x) wanneer «x» neigt naar «0».

Als we de cosinusgrafiek bekijken, kunnen we zien dat wanneer "x" dichtbij "0" ligt, de grafiek van de cosinus dichtbij "1" ligt. Dit impliceert dat de limiet van cos (x) wanneer "x" neigt naar "0" gelijk is aan "1".

Een limiet kan bestaan ​​(een getal zijn), zoals in de voorgaande voorbeelden, maar het kan ook gebeuren dat deze niet bestaat zoals in het volgende voorbeeld.

- De limiet van tan (x) wanneer «x» neigt naar «Π / 2» van links is gelijk aan «+ ∞», zoals te zien is in de grafiek. Aan de andere kant is de limiet van tan (x) wanneer "x" neigt naar "-Π / 2" vanaf rechts gelijk aan "-∞".

Goniometrische limieten identiteiten

Twee zeer nuttige identiteiten bij het berekenen van trigonometrische limieten zijn:

- De limiet van «sin (x) / x» wanneer «x» neigt naar «0» is gelijk aan «1».

- De limiet van «(1-cos (x)) / x» wanneer «x» neigt naar «0» is gelijk aan «0».

Deze identiteiten worden heel vaak gebruikt als je een soort van onbepaaldheid hebt.

Opgeloste oefeningen

Los de volgende beperkingen op met behulp van de hierboven beschreven identiteiten.

- Bereken de limiet van «f (x) = sin (3x) / x» wanneer «x» neigt naar «0».

Als de functie "f" wordt geëvalueerd als "0", wordt een onbepaaldheid van type 0/0 verkregen. Daarom moeten we proberen deze onbepaaldheid op te lossen met behulp van de beschreven identiteiten.

Het enige verschil tussen deze limiet en de identiteit is het nummer 3 dat verschijnt binnen de sinusfunctie. Om de identiteit toe te passen, moet de functie «f (x)» worden herschreven als volgt «3 * (sin (3x) / 3x)». Nu zijn zowel het sinusargument als de noemer gelijk.

Dus als "x" neigt naar "0", geeft het gebruik van de identiteit "3 * 1 = 3". Daarom is de limiet van f (x) wanneer "x" neigt naar "0" gelijk aan "3".

- Bereken de limiet van «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» wanneer «x» neigt naar «0».

Wanneer "x = 0" wordt vervangen door g (x), wordt een onbepaaldheid van het type ∞-∞ verkregen. Om het op te lossen, worden de breuken eerst afgetrokken, wat "(1-cos (x)) / x" oplevert.

Nu we de tweede trigonometrische identiteit toepassen, hebben we dat de limiet van g (x) wanneer «x» neigt naar «0» gelijk is aan 0.

- Bereken de limiet van «h (x) = 4tan (5x) / 5x» wanneer «x» neigt naar «0».

Nogmaals, als h (x) wordt geëvalueerd als "0", zal een onbepaaldheid van type 0/0 worden verkregen.

Herschrijven als (5x) als sin (5x) / cos (5x) resulteert in h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Door dat te gebruiken, is de limiet van 4 / cos (x) wanneer 'x' neigt naar '0' gelijk aan '4/1 = 4' en wordt de eerste trigonometrische identiteit verkregen dat de limiet van h (x) wanneer 'x' neigt een "0" is gelijk aan "1 * 4 = 4".

Observatie

Goniometrische limieten zijn niet altijd gemakkelijk op te lossen. In dit artikel werden alleen basisvoorbeelden getoond.

Referenties

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus-wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, geïllustreerde red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage leren.
5. Leal, JM en Viloria, NG (2005). Plane analytische meetkunde. Mérida - Venezuela: Redactie Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Voorberekening. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., en Rigdon, SE (2007). Calculus (negende ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening met vroege transcendente functies voor Science and Engineering (tweede editie red.). Hypotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (herdruk red.). Bliksembron.
10. Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.