- Gelijktijdige vergelijkingen
- kenmerken
- Opgeloste oefeningen
- Eerste oefening
- Tweede oefening
- Derde oefening
- Vierde oefening
- Observatie
- Referenties
De gelijktijdige vergelijkingen zijn die vergelijkingen waaraan tegelijkertijd moet worden voldaan. Om gelijktijdige vergelijkingen te hebben, moet u daarom meer dan één vergelijking hebben.
Als je twee of meer verschillende vergelijkingen hebt, die dezelfde oplossing (of dezelfde oplossingen) moeten hebben, wordt er gezegd dat je een stelsel vergelijkingen hebt of er wordt ook gezegd dat je gelijktijdige vergelijkingen hebt.
Als we gelijktijdige vergelijkingen hebben, kan het gebeuren dat ze geen gemeenschappelijke oplossingen hebben of een eindige hoeveelheid of een oneindige hoeveelheid hebben.
Gelijktijdige vergelijkingen
Gegeven twee verschillende vergelijkingen Eq1 en Eq2, volgt hieruit dat het stelsel van deze twee vergelijkingen gelijktijdige vergelijkingen wordt genoemd.
De gelijktijdige vergelijkingen voldoen aan dat als S een oplossing is van Vgl, S ook een oplossing is van Vgl2 en vice versa
kenmerken
Als het gaat om een stelsel van gelijktijdige vergelijkingen, kun je 2 vergelijkingen, 3 vergelijkingen of N vergelijkingen hebben.
De meest gebruikte methoden om gelijktijdige vergelijkingen op te lossen zijn: substitutie, egalisatie en reductie. Er is ook een andere methode, de regel van Cramer, die erg handig is voor systemen met meer dan twee gelijktijdige vergelijkingen.
Een voorbeeld van gelijktijdige vergelijkingen is het systeem
Vgl: x + y = 2
Vgl.2: 2x-y = 1
Het is te zien dat x = 0, y = 2 een oplossing is van Vgl. Maar het is geen oplossing van Vgl.
De enige gemeenschappelijke oplossing die beide vergelijkingen hebben, is x = 1, y = 1. Dat wil zeggen, x = 1, y = 1 is de oplossing van het stelsel van gelijktijdige vergelijkingen.
Opgeloste oefeningen
Vervolgens gaan we verder met het oplossen van het hierboven getoonde systeem van gelijktijdige vergelijkingen, via de 3 genoemde methoden.
Eerste oefening
Los het stelsel vergelijkingen Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 op met behulp van de substitutiemethode.
Oplossing
De substitutiemethode bestaat uit het oplossen van een van de onbekenden in een van de vergelijkingen en deze vervolgens in de andere vergelijking te vervangen. In dit specifieke geval kunnen we "y" oplossen uit vergelijking 1 en we verkrijgen dat y = 2-x.
Als we deze waarde van «y» in Vgl2 vervangen, krijgen we dat 2x- (2-x) = 1. Daarom krijgen we dat 3x-2 = 1, dat wil zeggen x = 1.
Omdat de waarde van x bekend is, wordt deze vervolgens vervangen door "y" en krijgen we dat y = 2-1 = 1.
Daarom is de enige oplossing voor het stelsel van gelijktijdige vergelijkingen Eq1 en Eq2 x = 1, y = 1.
Tweede oefening
Los het stelsel vergelijkingen Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 op met behulp van de matching-methode.
Oplossing
De matchingsmethode bestaat uit het oplossen van dezelfde onbekende in beide vergelijkingen en vervolgens het matchen van de resulterende vergelijkingen.
Als we uit beide vergelijkingen "x" oplossen, krijgen we dat x = 2-y, en dat x = (1 + y) / 2. Nu worden deze twee vergelijkingen gelijk gemaakt en krijgen we dat 2-y = (1 + y) / 2, waaruit volgt dat 4-2y = 1 + y.
Het groeperen van de onbekende "y" aan dezelfde kant resulteert in y = 1. Nu "y" bekend is, gaan we verder met het vinden van de waarde van "x". Als we y = 1 vervangen, krijgen we dat x = 2-1 = 1.
Daarom is de gemeenschappelijke oplossing tussen de vergelijkingen Eq1 en Eq2 x = 1, y = 1.
Derde oefening
Los het stelsel vergelijkingen Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 op met behulp van de reductiemethode.
Oplossing
De reductiemethode bestaat uit het vermenigvuldigen van de gegeven vergelijkingen met de juiste coëfficiënten, zodat bij het optellen van deze vergelijkingen een van de variabelen wordt geannuleerd.
In dit specifieke voorbeeld is het niet nodig om een vergelijking met een coëfficiënt te vermenigvuldigen, maar tel ze gewoon op. Door Eq1 plus Eq2 toe te voegen, krijgen we dat 3x = 3, waaruit we dat x = 1 krijgen.
Bij het evalueren van x = 1 in Vgl, krijgen we dat 1 + y = 2, waaruit volgt dat y = 1.
Daarom is x = 1, y = 1 de enige oplossing voor de gelijktijdige vergelijkingen Eq1 en Eq2.
Vierde oefening
Los het stelsel van gelijktijdige vergelijkingen Eq1: 2x-3y = 8 en Eq2: 4x-3y = 12 op.
Oplossing
In deze oefening is geen specifieke methode vereist, daarom kan de methode worden toegepast die het meest comfortabel is voor elke lezer.
In dit geval wordt de reductiemethode gebruikt. Vermenigvuldiging van Eq1 met -2 geeft de vergelijking Eq3: -4x + 6y = -16. Als we nu Eq3 en Eq2 optellen, krijgen we 3y = -4, dus y = -4 / 3.
Als we nu y = -4 / 3 in Vgl. Evalueren, krijgen we dat 2x-3 (-4/3) = 8, vanwaar 2x + 4 = 8, dus x = 2.
Concluderend, de enige oplossing voor het stelsel van gelijktijdige vergelijkingen Eq1 en Eq2 is x = 2, y = -4 / 3.
Observatie
De methoden die in dit artikel worden beschreven, kunnen worden toegepast op systemen met meer dan twee gelijktijdige vergelijkingen.
Hoe meer vergelijkingen en hoe meer onbekenden er zijn, hoe ingewikkelder de procedure om het systeem op te lossen is.
Elke methode voor het oplossen van stelsels vergelijkingen levert dezelfde oplossingen op, dat wil zeggen dat de oplossingen niet afhankelijk zijn van de toegepaste methode.
Referenties
- Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen.: Hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
- Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
- Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
- Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.