COPLANAIRE PUNTEN: VERGELIJKING, VOORBEELD EN OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De coplanaire punten behoren allemaal tot hetzelfde vlak. Twee punten zijn altijd coplanair, aangezien deze punten een lijn definiëren waardoor oneindige vlakken passeren. Beide punten behoren dan tot elk van de vlakken die door de lijn gaan en zullen daarom altijd coplanair zijn.

Aan de andere kant definiëren drie punten een enkel vlak, waaruit volgt dat drie punten altijd coplanair zijn met het vlak dat ze bepalen.

Figuur 1. A, B, C en D zijn coplanair met het (Ω) -vlak. E, F en G zijn niet coplanair met (Ω) maar ze zijn coplanair met het vlak dat ze definiëren. Bron: F. Zapata.

Meer dan drie punten kunnen coplanair zijn of niet. In figuur 1 zijn de punten A, B, C en D bijvoorbeeld coplanair met het vlak (Ω). Maar E, F en G zijn niet coplanair met (Ω), hoewel ze coplanair zijn met het vlak dat ze definiëren.

Vergelijking van een vlak met drie punten

De vergelijking van een vlak bepaald door drie bekende punten A, B, C is een wiskundige relatie die garandeert dat elk punt P met generieke coördinaten (x, y, z) dat aan de vergelijking voldoet, tot dat vlak behoort.

De vorige verklaring is gelijk aan te zeggen dat als P van coördinaten (x, y, z) voldoet aan de vergelijking van het vlak, dat punt coplanair zal zijn met de drie punten A, B, C die het vlak hebben bepaald.

Om de vergelijking van dit vlak te vinden, beginnen we met het vinden van de vectoren AB en AC :

AB =

AC =

Het vectorproduct AB X AC resulteert in een vector loodrecht op of loodrecht op het vlak bepaald door de punten A, B, C.

Elk punt P van coördinaten (x, y, z) behoort tot het vlak als de vector AP loodrecht op de vector AB X AC staat , wat gegarandeerd is als:

AP • (AB X AC) = 0

Dit komt overeen met zeggen dat het drievoudige product van AP , AB en AC nul is. De bovenstaande vergelijking kan in matrixvorm worden geschreven:

Voorbeeld

Laat de punten A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) en D (a, 0, 1). Welke waarde moet a hebben om de vier punten coplanair te maken?

Oplossing

Om de waarde van a te vinden, moet punt D deel uitmaken van het vlak bepaald door A, B en C, wat gegarandeerd is als het voldoet aan de vergelijking van het vlak.

Het ontwikkelen van de bepalende factor die we hebben:

De vorige vergelijking vertelt ons dat a = -1 voor de gelijkheid waaraan moet worden voldaan. Met andere woorden, de enige manier waarop punt D (a, 0,1) coplanair is met de punten A, B en C, is dat a -1 is. Anders zal het niet coplanair zijn.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Een vlak snijdt de cartesiaanse assen X, Y, Z op respectievelijk 1, 2 en 3. Het snijpunt van dit vlak met de assen bepaalt de punten A, B en C. Zoek de component Dz van een punt D, waarvan de Cartesiaanse componenten zijn:

Op voorwaarde dat D coplanair is met de punten A, B en C.

Oplossing

Wanneer de onderscheppingen van een vlak met de cartesiaanse assen bekend zijn, kan de segmentvorm van de vergelijking van het vlak worden gebruikt:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Aangezien punt D tot het vorige vlak moet behoren, moet het:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Het is te zeggen:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Uit het bovenstaande volgt dat punt D (3, -2, -3) coplanair is met punten A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) en C (0, 0, 3).

- Oefening 2

Bepaal of de punten A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) en D (2, 3, 1) zijn coplanair.

Oplossing

We vormen de matrix waarvan de rijen de coördinaten zijn van DA, BA en CA. Vervolgens wordt de determinant berekend en wordt gecontroleerd of deze al dan niet nul is.

Nadat alle berekeningen zijn uitgevoerd, wordt geconcludeerd dat ze coplanair zijn.

- Oefening 3

Er zijn twee regels in de ruimte. Een daarvan is de lijn (R) waarvan de parametrische vergelijking is:

En de andere is de lijn (S) waarvan de vergelijking is:

Laat zien dat (R) en (S) coplanaire lijnen zijn, dat wil zeggen dat ze in hetzelfde vlak liggen.

Oplossing

Laten we beginnen door willekeurig twee punten op de lijn (R) en twee op de lijn (S) te nemen:

Lijn (R): λ = 0; A (1, 1, 1) en λ = 1; B (3, 0, 1)

Laat x = 0 op de lijn (S) => y = ½; C (0, 1/2, -1). En aan de andere kant, als we y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Dat wil zeggen, we hebben de punten A en B genomen die bij de lijn (R) horen en de punten C en D die bij de lijn (S) horen. Als die punten coplanair zijn, dan zijn de twee lijnen dat ook.

Nu kiezen we punt A als draaipunt en dan vinden we de coördinaten van de vectoren AB , AC en AD. Op deze manier krijg je:

B - A: (3-1, 0-1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0-1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

De volgende stap is het construeren en berekenen van de determinant waarvan de eerste rij de coëfficiënten van de vector AB is , de tweede rij die van AC en de derde rij die van de vector AD :

Omdat de determinant nul blijkt te zijn, kunnen we concluderen dat de vier punten coplanair zijn. Bovendien kan worden gesteld dat de lijnen (R) en (S) ook coplanair zijn.

- Oefening 4

De lijnen (R) en (S) zijn coplanair, zoals aangetoond in Opgave 3. Zoek de vergelijking van het vlak waarin ze zich bevinden.

Oplossing

Punten A, B, C definiëren dat vlak volledig, maar we willen opleggen dat elk punt X van coördinaten (x, y, z) erbij hoort.

Om X te laten behoren tot het vlak gedefinieerd door A, B, C en waarin de lijnen (R) en (S) zijn opgenomen, is het noodzakelijk dat de determinant gevormd in de eerste rij door de componenten van AX , in de tweede rij door die van AB en in de derde door die van AC :

Op basis van dit resultaat groeperen we op deze manier:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

En meteen zie je dat het zo herschreven kan worden:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Daarom is x + 2y - z = 2 de vergelijking van het vlak dat de lijnen (R) en (S) bevat.

Referenties

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineaire algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Vlakke analytische meetkunde. Mérida - Venezuela: Redactie Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vectoren. Hersteld van: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Voorberekening. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Basisconcepten van geometrie. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.