SAMENGESTELDE EVENREDIGHEID: UITLEG, SAMENGESTELDE REGEL VAN DRIE, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De samengestelde of meervoudige proportionaliteit is de verhouding van meer dan twee grootheden, die direct kan worden waargenomen en omgekeerde evenredigheid tussen de gegevens en het onbekende. Dit is een meer geavanceerde versie van eenvoudige proportionaliteit, hoewel de technieken die in beide procedures worden gebruikt, vergelijkbaar zijn.

Als er bijvoorbeeld 7 mensen nodig zijn om 10 ton goederen in 3 uur te lossen, kan samengestelde proportionaliteit worden gebruikt om te berekenen hoeveel mensen er nodig zijn om 15 ton in 4 uur te lossen.

Bron: pixabay.com

Om deze vraag te beantwoorden, is het handig om een ​​waardentabel te maken om de grootheden en onbekenden te bestuderen en te relateren.

We gaan verder met het analyseren van de soorten relaties tussen elke omvang en het huidige onbekende, wat in dit geval overeenkomt met het aantal mensen dat zal werken.

Naarmate het gewicht van de koopwaar toeneemt, neemt ook het aantal mensen toe dat nodig is om deze uit te laden. Hierdoor is de relatie tussen gewicht en werknemers direct.

Aan de andere kant, naarmate het aantal werknemers toeneemt, nemen de werkuren af. Hierdoor is de relatie tussen mensen en werktijden van het omgekeerde type.

Hoe samengestelde proportionaliteiten te berekenen

Om voorbeelden zoals hierboven op te lossen, wordt meestal de samengestelde regel van drie methoden gebruikt. Dit bestaat uit het vaststellen van de soorten relaties tussen hoeveelheden en onbekenden en vervolgens het representeren van een product tussen fracties.

Met betrekking tot het eerste voorbeeld zijn de breuken die overeenkomen met de waardetabel als volgt georganiseerd:

Maar voordat het onbekende wordt opgelost en opgelost, moeten de breuken die overeenkomen met de inverse relatie worden omgekeerd. Wat voor dit geval overeenkomt met de variabele tijd. Op deze manier is de op te lossen operatie:

Wiens enige verschil de inversie is van de breuk die overeenkomt met de tijdvariabele 4/3. We gaan verder met werken en wissen de waarde van x.

Er zijn dus meer dan elf mensen nodig om 15 ton goederen in 4 uur of minder te kunnen lossen.

Uitleg

Proportionaliteit is de constante relatie tussen grootheden die aan verandering onderhevig zijn, die symmetrisch zal zijn voor elk van de betrokken grootheden. Er zijn directe en omgekeerd evenredige relaties, waardoor de parameters van enkelvoudige of samengestelde proportionaliteit worden gedefinieerd.

Directe regel van drie

Het bestaat uit een proportionele relatie tussen variabelen, die hetzelfde gedrag vertonen wanneer ze worden gewijzigd. Het komt zeer vaak voor bij de berekening van percentages die verwijzen naar andere grootheden dan honderd, waarbij de fundamentele structuur ervan wordt gewaardeerd.

Als voorbeeld kan 15% worden berekend van 63. Op het eerste gezicht valt dit percentage niet gemakkelijk in te zien. Maar als je de regel van drie implementeert, kan de volgende relatie worden gelegd: als 100% 63 is, dan 15%, hoeveel is dat dan?

100% ---- 63

15% ---– X

En de bijbehorende bewerking is:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Waar de procenttekens worden vereenvoudigd en het cijfer 9,45 wordt verkregen, wat overeenkomt met 15% van 63.

Inverse regel van drie

Zoals de naam aangeeft, is in dit geval de relatie tussen de variabelen het tegenovergestelde. De omgekeerde relatie moet worden vastgesteld voordat u verder gaat met de berekening. De procedure is vergelijkbaar met die van de directe regel van drie, met uitzondering van de investering in de te berekenen fractie.

Zo hebben 3 schilders 5 uur nodig om een ​​muur af te werken. In hoeveel uur zouden 4 schilders het afmaken?

In dit geval is de relatie omgekeerd, aangezien naarmate het aantal schilders toeneemt, de werktijd zou moeten afnemen. De relatie is gelegd;

3 schilders - 5 uur

4 schilders - X uur

Als de relatie wordt omgekeerd, wordt de volgorde van bewerking omgekeerd. Dit is de juiste manier;

(3 schilders). (5 uur) / 4 schilders = 3,75 uur

De term schilders is vereenvoudigd en het resultaat is 3,75 uur.

Staat

Om in de aanwezigheid van een samengestelde of meervoudige proportionaliteit te zijn, is het nodig om beide soorten relaties tussen grootheden en variabelen te vinden.

- Direct: de variabele heeft hetzelfde gedrag als de onbekende. Dat wil zeggen, wanneer de ene toeneemt of afneemt, wordt de andere gelijkelijk gewijzigd.

- Inverse: de variabele heeft een antoniem gedrag ten opzichte van dat van het onbekende. De breuk die deze variabele in de waardetabel definieert, moet worden geïnverteerd om de omgekeerd evenredige relatie tussen variabele en onbekend weer te geven.

Verificatie van resultaten

Het is heel gebruikelijk om de volgorde van de grootheden te verwarren bij het werken met samengestelde proportionaliteiten, in tegenstelling tot wat er gebeurt in de gebruikelijke verhoudingsberekeningen, waarvan de aard meestal direct en oplosbaar is door een simpele regel van drie.

Om deze reden is het belangrijk om de logische volgorde van de resultaten te onderzoeken en de samenhang van de cijfers te verifiëren die worden geproduceerd door de samengestelde regel van drie.

In het eerste voorbeeld zou het maken van een dergelijke fout resulteren in 20 als resultaat. Dat wil zeggen, 20 mensen lossen 15 ton koopwaar in 4 uur.

Op het eerste gezicht lijkt het geen gek resultaat, maar het is merkwaardig een toename van bijna 200% in personeel (van 7 naar 20 personen) wanneer de toename van handelswaar 50% is, en zelfs met een grotere marge van tijd om uit te voeren het werk.

De logische verificatie van de resultaten vertegenwoordigt dus een belangrijke stap bij het implementeren van de samengestelde regel van drie.

Opruiming

Hoewel het meer basaal van aard is met betrekking tot wiskundige opleiding, vormt de goedkeuring een belangrijke stap in gevallen van proportionaliteit. Een verkeerde klaring is voldoende om elk resultaat dat is verkregen met de eenvoudige of samengestelde regel van drie ongeldig te maken.

Geschiedenis

De regel van drie werd in het Westen bekend via de Arabieren, met publicaties van verschillende auteurs. Onder hen Al-Jwarizmi en Al-Biruni.

Al-Biruni had, dankzij zijn multiculturele kennis, toegang tot uitgebreide informatie over deze praktijk tijdens zijn reizen naar India en was verantwoordelijk voor de meest uitgebreide documentatie over de regel van drie.

Hij stelt in zijn onderzoek dat India de eerste plaats was waar het gebruik van de regel van drie algemeen werd. De schrijver verzekert dat het op een vloeiende manier werd uitgevoerd in zijn directe, omgekeerde en zelfs samengestelde versies.

De exacte datum waarop de regel van drie onderdeel werd van de wiskundige kennis van India is nog onbekend. Het oudste document dat deze praktijk behandelt, het Bakhshali-manuscript, werd echter in 1881 ontdekt. ​​Het bevindt zich momenteel in Oxford.

Veel wiskundehistorici beweren dat dit manuscript dateert uit het begin van het huidige tijdperk.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een luchtvaartmaatschappij moet 1.535 mensen vervoeren. Het is bekend dat het met 3 vliegtuigen 12 dagen zou duren om de laatste passagier op de bestemming te krijgen. Er zijn nog 450 mensen bij de luchtvaartmaatschappij aangekomen en 2 vliegtuigen moeten worden gerepareerd om bij deze taak te helpen. Hoeveel dagen heeft de luchtvaartmaatschappij nodig om elke laatste passagier naar hun bestemming te brengen?

De relatie tussen het aantal mensen en het aantal werkdagen is direct, want hoe groter het aantal mensen, hoe meer dagen er nodig zijn om dit werk uit te voeren.

Aan de andere kant is de relatie tussen vliegtuigen en dagen omgekeerd evenredig. Naarmate het aantal vliegtuigen toeneemt, nemen de dagen die nodig zijn om alle passagiers te vervoeren af.

De tabel met waarden die naar dit geval verwijst, is gemaakt.

Zoals gedetailleerd in het eerste voorbeeld, moeten de teller en de noemer worden omgekeerd in de breuk die overeenkomt met de inverse variabele ten opzichte van het onbekende. De werking is als volgt:

X = 71460/7675 = 9,31 dagen

Om 1985 mensen over te brengen met 5 vliegtuigen, duurt het meer dan 9 dagen.

Oefening 2

Een maïsoogst van 25 ton wordt naar de vrachtauto's gebracht. Het is bekend dat het hen vorig jaar 8 uur kostte met een loonlijst van 150 arbeiders. Als de loonlijst voor dit jaar met 35% is gestegen, hoe lang duurt het dan voordat ze de vrachtwagens hebben gevuld met een oogst van 40 ton?

Voordat de waardetabel wordt weergegeven, moet het aantal werknemers voor dit jaar worden gedefinieerd. Dit is met 35% gestegen ten opzichte van het aanvankelijke aantal van 150 werknemers. Hiervoor wordt een directe regel van drie gehanteerd.

100% - 150

35% ---– X

X = (35.100) / 100 = 52,5. Dit is het aantal extra werknemers ten opzichte van het voorgaande jaar, wat een totaal aantal werknemers van 203 oplevert, na afronding van het verkregen bedrag.

We gaan verder met het definiëren van de bijbehorende gegevenstabel

In dit geval vertegenwoordigt het gewicht een variabele die rechtstreeks verband houdt met de onbekende tijd. Aan de andere kant heeft de variabele workers een omgekeerde relatie met de tijd. Hoe groter het aantal werknemers, hoe korter de werkdag.

Rekening houdend met deze overwegingen en het omkeren van de breuk die overeenkomt met de arbeidersvariabele, gaan we verder met berekenen.

X = 40600/6000 = 6,76 uur

De reis duurt iets minder dan 7 uur.

Voorgestelde oefeningen

- Definieer 73% van 2875.

- Bereken het aantal uren dat Teresa slaapt, als bekend is dat ze maar 7% van het totaal van de dag slaapt. Bepaal hoeveel uur u per week slaapt.

- Een krant publiceert elke 5 uur 2000 exemplaren, met slechts 2 drukmachines. Hoeveel exemplaren produceert hij in 1 uur als hij 7 machines gebruikt? Hoe lang duurt het om 10.000 kopieën te maken met 4 machines?

Referenties

1. Encyclopedie Alvarez-initiatie. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Volledig handboek van basisonderwijs en hoger basisonderwijs: voor het gebruik van aspirant-leraren en in het bijzonder studenten van de normale scholen van de provincie, deel 1. Joaquín Avendaño. Afdrukken van D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Rationele benadering van werkelijke functies. PP Petroesjev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 maart. 2011.
4. Elementaire rekenkunde voor lesgeven op scholen en hogescholen in Midden-Amerika. Darío González. Tip. Arenales, 1926.
5. The Study of Mathematics: Over de studie en moeilijkheden van wiskunde. Augustus De Morgan. Baldwin en Cradock, 1830.