EIGENSCHAPPEN VAN GELIJKHEID - WISKUNDE - 2026

De eigenschappen van gelijkheid verwijzen naar de relatie tussen twee wiskundige objecten, of het nu gaat om getallen of variabelen. Het wordt aangeduid met het symbool "=", dat altijd tussen deze twee objecten staat. Deze uitdrukking wordt gebruikt om vast te stellen dat twee wiskundige objecten hetzelfde object vertegenwoordigen; met andere woorden, dat twee objecten hetzelfde zijn.

Er zijn gevallen waarin het triviaal is om gelijkheid te gebruiken. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat 2 = 2. Als het echter om variabelen gaat, is het niet langer triviaal en heeft het specifieke toepassingen. Als we bijvoorbeeld hebben dat y = x en aan de andere kant x = 7, kunnen we concluderen dat ook y = 7.

Het bovenstaande voorbeeld is gebaseerd op een van de eigenschappen van gelijkheid, zoals u binnenkort zult zien. Deze eigenschappen zijn essentieel voor het oplossen van vergelijkingen (gelijkheden met variabelen), die een zeer belangrijk onderdeel van de wiskunde vormen.

Wat zijn de eigenschappen van gelijkheid?

Reflecterende eigenschap

De reflexieve eigenschap, in het geval van gelijkheid, stelt dat elk getal gelijk is aan zichzelf en wordt uitgedrukt als b = b voor elk reëel getal b.

In het specifieke geval van gelijkheid lijkt deze eigenschap voor de hand te liggen, maar in andere soorten relaties tussen getallen is het dat niet. Met andere woorden, niet elke relatie met reële getallen voldoet aan deze eigenschap. Zo'n geval van de relatie "kleiner dan" (<); geen nummer is kleiner dan zichzelf.

Symmetrische eigenschap

De symmetrische eigenschap voor gelijkheid zegt dat als a = b, dan b = a. Ongeacht de volgorde die in de variabelen wordt gebruikt, deze blijft behouden door de gelijkheidsrelatie.

Een zekere analogie van deze eigenschap met de commutatieve eigenschap kan worden waargenomen in het geval van optellen. Vanwege deze eigenschap is het bijvoorbeeld gelijk aan y = 4 of 4 = y.

Overgankelijke eigenschap

De transitieve eigenschap op gelijkheid stelt dat als a = b en b = c, dan a = c. Bijvoorbeeld 2 + 7 = 9 en 9 = 6 + 3; daarom hebben we door de transitieve eigenschap dat 2 + 7 = 6 + 3.

Een eenvoudige toepassing is de volgende: stel dat Julian 14 jaar is en dat Mario even oud is als Rosa. Als Rosa even oud is als Julián, hoe oud is Mario dan?

Achter dit scenario wordt de transitieve eigenschap twee keer gebruikt. Wiskundig wordt het als volgt geïnterpreteerd: laat "a" de leeftijd van Mario zijn, "b" de leeftijd van Rosa en "c" de leeftijd van Julian. Het is bekend dat b = c en dat c = 14.

Door de transitieve eigenschap hebben we dat b = 14; dat wil zeggen, Rosa is 14 jaar oud. Omdat a = b en b = 14, hebben we opnieuw de transitieve eigenschap gebruikt dat a = 14; dat wil zeggen, Mario's leeftijd is ook 14 jaar oud.

Uniforme eigenschap

De uniforme eigenschap is dat als beide kanten van een gelijkheid worden opgeteld of vermenigvuldigd met hetzelfde bedrag, de gelijkheid behouden blijft. Als 2 = 2, dan is 2 + 3 = 2 + 3, wat duidelijk is, aangezien 5 = 5. Deze eigenschap is vooral handig bij het oplossen van een vergelijking.

Stel dat u wordt gevraagd om de vergelijking x-2 = 1 op te lossen. Het is handig om te onthouden dat het oplossen van een vergelijking bestaat uit het expliciet bepalen van de betrokken variabele (of variabelen) op basis van een specifiek getal of een eerder gespecificeerde variabele.

Terugkomend op de vergelijking x-2 = 1, wat u moet doen, is expliciet uitzoeken hoeveel x waard is. Om dit te doen, moet de variabele worden gewist.

Het is ten onrechte geleerd dat in dit geval, aangezien het getal 2 negatief is, het met een positief teken naar de andere kant van de gelijkheid gaat. Maar het is niet correct om het zo te zeggen.

In feite past u de uniforme eigenschap toe, zoals we hieronder zullen zien. Het idee is om "x" te wissen; dat wil zeggen, laat het aan één kant van de vergelijking staan. Volgens afspraak wordt het meestal aan de linkerkant gelaten.

Voor dit doel is het aantal "elimineren" -2. De manier om dit te doen is door 2 toe te voegen, aangezien -2 + 2 = 0 en x + 0 = 0. Om dit te kunnen doen zonder de gelijkheid te veranderen, moet dezelfde bewerking worden toegepast op de andere kant.

Dit stelt ons in staat om de uniforme eigenschap te realiseren: aangezien x-2 = 1, als het getal 2 wordt toegevoegd aan beide zijden van de gelijkheid, zegt de uniforme eigenschap dat deze niet is gewijzigd. Dan hebben we dat x-2 + 2 = 1 + 2, wat overeenkomt met zeggen dat x = 3. Hiermee zou de vergelijking zijn opgelost.

Evenzo, als u de vergelijking (1/5) y-1 = 9 wilt oplossen, kunt u de uniforme eigenschap als volgt gebruiken:

Meer in het algemeen kunnen de volgende uitspraken worden gedaan:

- Als ab = cb, dan is a = c.

- Als xb = y, dan is x = y + b.

- Als (1 / a) z = b, dan is z = a ×

- Als (1 / c) a = (1 / c) b, dan is a = b.

Annulering eigendom

De eigenschap annulering is een specifiek geval van de uniforme eigenschap, vooral gezien het geval van aftrekken en delen (die in feite ook overeenkomen met optellen en vermenigvuldigen). Deze eigenschap behandelt dit geval afzonderlijk.

Als bijvoorbeeld 7 + 2 = 9, dan is 7 = 9-2. Of als 2y = 6, dan is y = 3 (aan beide zijden door twee delen).

Analoog aan het vorige geval kunnen via de annuleringseigenschap de volgende verklaringen worden vastgesteld:

- Als a + b = c + b, dan is a = c.

- Als x + b = y, dan is x = yb.

- Als az = b, dan is z = b / a.

- Als ca = cb, dan is a = b.

Substitutie-eigenschap

Als we de waarde van een wiskundig object kennen, stelt de substitutie-eigenschap dat deze waarde in elke vergelijking of uitdrukking kan worden vervangen. Als b = 5 en a = bx, dan is het substitueren van de waarde van "b" in de tweede gelijkheid a = 5x.

Een ander voorbeeld is het volgende: als "m" "n" deelt en ook "n" "m" deelt, dan moeten we hebben dat m = n.

Zeggen dat "m" "n" deelt (of equivalent, dat "m" een deler is van "n") betekent dat de deling m ÷ n exact is; dat wil zeggen, het delen van "m" door "n" levert een geheel getal op, geen decimaal. Dit kan worden uitgedrukt door te zeggen dat er een geheel getal "k" bestaat zodat m = k × n.

Aangezien "n" ook "m" deelt, bestaat er een geheel getal "p" zodat n = p × m. Vanwege de substitutie-eigenschap hebben we dat n = p × k × n, en om dit te laten gebeuren zijn er twee mogelijkheden: n = 0, in welk geval we de identiteit 0 = 0 zouden hebben; op × k = 1, vandaar de identiteit n = n.

Stel dat "n" niet nul is. Dan noodzakelijkerwijs p × k = 1; daarom p = 1 en k = 1. Door opnieuw de substitutie-eigenschap te gebruiken, door k = 1 te substitueren in de gelijkheid m = k × n (of equivalent, p = 1 in n = p × m), krijgen we uiteindelijk die m = n, wat we wilden bewijzen.

Machtsbezit in gelijkheid

Net als eerder werd gezien dat als een bewerking zoals optellen, vermenigvuldigen, aftrekken of delen in beide termen van een gelijkheid wordt uitgevoerd, deze wordt bewaard, op dezelfde manier als andere bewerkingen die een gelijkheid niet veranderen, kunnen worden toegepast.

De sleutel is om het altijd aan beide kanten van de gelijkheid uit te voeren en er van tevoren voor te zorgen dat de operatie kan worden uitgevoerd. Dat is het geval bij empowerment; dat wil zeggen, als beide kanten van een vergelijking tot dezelfde macht worden verheven, hebben we nog steeds een gelijkheid.

Bijvoorbeeld omdat 3 = 3, dus 3 ² = 3 ² (9 = 9). In het algemeen, gegeven een geheel getal "n", als x = y, dan x ⁿ = y ⁿ .

Worteleigenschap in een gelijkheid

Dit is een specifiek geval van empowerment en wordt toegepast wanneer de macht een niet-geheel getal is, zoals ½, dat de vierkantswortel vertegenwoordigt. Deze eigenschap stelt dat als dezelfde wortel wordt toegepast op beide zijden van een gelijkheid (waar mogelijk), de gelijkheid behouden blijft.

In tegenstelling tot het vorige geval moet hier voorzichtig worden omgegaan met de pariteit van de wortel die moet worden toegepast, aangezien het algemeen bekend is dat de even wortel van een negatief getal niet goed gedefinieerd is.

In het geval dat de radicaal gelijk is, is er geen probleem. Als x ³ = -8 bijvoorbeeld, ook al is het een gelijkheid, kunt u bijvoorbeeld geen vierkantswortel op beide zijden toepassen. Als u echter een kubuswortel kunt toepassen (wat nog handiger is als u de waarde van x expliciet wilt weten), krijgt u dus x = -2.

Referenties

1. Aylwin, CU (2011). Logica, sets en cijfers. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
3. Lira, ML (1994). Simon en wiskunde: wiskundetekst voor het tweede leerjaar: studentenboek. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Wiskundige activiteiten en spelletjes met Miguel en Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., en Preciado, M. (1985). 2e cursus wiskunde. Redactioneel Progreso.