- kenmerken
- Numerieke algebra
- Demonstratie
- Som
- Vermenigvuldiging
- Speciale gevallen in R
- Afdeling
- Archiveren
- Logaritme
- Voorbeelden
- Som in N
- Aftrekken in N
- Voorgestelde oefeningen
- Referenties
De vergrendelingseigenschap van algebra is een fenomeen dat twee elementen van een set in verband brengt met een operatie, waarbij de noodzakelijke voorwaarde is dat, nadat de 2 elementen onder die operatie zijn verwerkt, het resultaat ook tot de initiële set behoort.
Als we bijvoorbeeld de even getallen als een set nemen en een som als een bewerking, krijgen we een vergrendeling van die set met betrekking tot de som. Dit komt doordat de som van 2 even getallen altijd een ander even getal zal opleveren, waardoor aan de vergrendelingsvoorwaarde wordt voldaan.
Bron: unsplash.com
kenmerken
Er zijn veel eigenschappen die algebraïsche ruimtes of lichamen bepalen, zoals structuren of ringen. De vergrendelingseigenschap is echter een van de bekendste in de basisalgebra.
Niet alle toepassingen van deze eigenschappen zijn gebaseerd op numerieke elementen of verschijnselen. Veel alledaagse voorbeelden kunnen vanuit een puur algebraïsch-theoretische benadering worden bewerkt.
Een voorbeeld kunnen de burgers van een land zijn die een juridische relatie van welke aard dan ook aannemen, zoals een commercieel partnerschap of een huwelijk onder andere. Nadat deze operatie of beheer is uitgevoerd, blijven zij staatsburgers van het land. Op deze manier vormen burgerschap en bestuursoperaties met betrekking tot twee burgers een slot.
Numerieke algebra
Met betrekking tot getallen zijn er veel aspecten die het onderwerp zijn geweest van studie in verschillende stromingen van wiskunde en algebra. Uit deze studies is een groot aantal axioma's en stellingen naar voren gekomen die als theoretische basis dienen voor hedendaags onderzoek en werk.
Als we met de numerieke sets werken, kunnen we een andere geldige definitie voor de eigenschap lock vaststellen. Een set A is het slot van een andere set B als A de kleinste set is die alle sets en bewerkingen bevat die B bevat.
Demonstratie
Het slotbewijs wordt toegepast voor elementen en bewerkingen die aanwezig zijn in de reeks reële getallen R.
Laat A en B twee getallen zijn die tot de verzameling R behoren, de sluiting van deze elementen wordt gedefinieerd voor elke bewerking in R.
Som
- Som: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R
Dit is de algebraïsche manier om te zeggen dat voor alle A en B die tot de reële getallen behoren, we hebben dat de som van A plus B gelijk is aan C, die ook tot de reële getallen behoort.
Het is gemakkelijk om te controleren of deze stelling waar is; het is voldoende om de som tussen een reëel getal uit te voeren en te controleren of het resultaat ook tot de reële getallen behoort.
3 + 2 = 5 ∈ R
-2 + (-7) = -9 ∈ R
-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R
5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R
Er wordt opgemerkt dat aan de vergrendelingsvoorwaarde is voldaan voor de reële getallen en de som. Op deze manier kan worden geconcludeerd: De som van reële getallen is een algebraïsch slot.
Vermenigvuldiging
- Vermenigvuldiging: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R
Voor alle A en B die tot de reële getallen behoren, geldt dat de vermenigvuldiging van A met B gelijk is aan C, die ook tot de reële getallen behoort.
Bij verificatie met dezelfde elementen van het vorige voorbeeld, worden de volgende resultaten waargenomen.
3 x 2 = 6 ∈ R
-2 x (-7) = 14 ∈ R
-3 x 1/3 = -1 ∈ R
5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R
Dit is voldoende bewijs om te concluderen dat: Vermenigvuldiging van reële getallen een algebraïsch slot is.
Deze definitie kan worden uitgebreid tot alle bewerkingen van reële getallen, hoewel we bepaalde uitzonderingen zullen vinden.
Bron: pixabay.com
Speciale gevallen in R
Afdeling
Het eerste speciale geval is deling, waarbij de volgende uitzondering wordt gezien:
∀ EEN ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0
Voor alle A en B die tot R behoren geldt dat A onder B niet tot de reële getallen behoort als en slechts als B gelijk is aan nul.
Dit geval verwijst naar de beperking van het niet kunnen delen door nul. Omdat nul tot de reële getallen behoort, volgt daaruit dat: de deling is geen lock op de reals.
Archiveren
Er zijn ook versterkingsoperaties, meer in het bijzonder die van radicalisering, waarbij uitzonderingen worden gepresenteerd voor radicale machten van zelfs index:
Voor alle A die tot de reële getallen behoort, behoort de ne wortel van A tot de reële getallen, als en slechts als A behoort tot de positieve reële getallen die zijn samengevoegd tot een verzameling waarvan het enige element nul is.
Op deze manier wordt aangegeven dat de even wortels alleen van toepassing zijn op positieve reële getallen en er wordt geconcludeerd dat de potentiëring geen slot is in R.
Logaritme
Op een homologe manier is het te zien voor de logaritmische functie, die niet is gedefinieerd voor waarden kleiner dan of gelijk aan nul. Om te controleren of de logaritme een slot van R is, gaat u als volgt te werk:
Voor alle A die tot de reële getallen behoort, behoort de logaritme van A tot de reële getallen, als en slechts als A tot de positieve reële getallen behoort.
Door negatieve waarden en nul uit te sluiten die ook bij R horen, kan worden gesteld dat:
De logaritme is geen vergrendeling van de reële getallen.
Voorbeelden
Controleer het slot voor optellen en aftrekken van de natuurlijke getallen:
Som in N
Het eerste is om de vergrendelingsvoorwaarde voor verschillende elementen van de gegeven set te controleren, waarbij als wordt opgemerkt dat een element breekt met de voorwaarde, het bestaan van een vergrendeling automatisch kan worden ontkend.
Deze eigenschap geldt voor alle mogelijke waarden van A en B, zoals te zien is in de volgende bewerkingen:
1 + 3 = 4 ∈ N
5 + 7 = 12 ∈ N
1000 + 10000 = 11000 ∈ N
Er zijn geen natuurlijke waarden die de vergrendelingsvoorwaarde doorbreken, dus wordt geconcludeerd:
De som is een slot in N.
Aftrekken in N
Er wordt gezocht naar natuurlijke elementen die de toestand kunnen doorbreken; A - B is van de inboorlingen.
Het bedienen ervan is gemakkelijk om paren natuurlijke elementen te vinden die niet voldoen aan de vergrendelingsvoorwaarde. Bijvoorbeeld:
7 - 10 = -3 ∉ een N
Op deze manier kunnen we concluderen dat:
Aftrekken is geen vergrendeling van de reeks natuurlijke getallen.
Voorgestelde oefeningen
1-Toon of aan de vergrendelingseigenschap is voldaan voor de reeks rationale getallen Q, voor de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
2-Leg uit of de reeks reële getallen een slot is van de reeks gehele getallen.
3-Bepaal welke numerieke reeks het slot van de reële getallen kan zijn.
4-Bewijs de eigenschap van het slot voor de verzameling denkbeeldige getallen, met betrekking tot optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Referenties
- Panorama van pure wiskunde: de Bourbakistische keuze. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
- Algebraïsche getaltheorie. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Nationale Autonome Universiteit van Mexico, 1975.
- Lineaire algebra en zijn toepassingen. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
- Algebraïsche structuren V: lichaamstheorie. Hector A. Merklen. Organisatie van Amerikaanse Staten, secretariaat-generaal, 1979.
- Inleiding tot commutatieve algebra. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.