- Opmerkelijke producten en voorbeelden
- Binominaal in het kwadraat
- Product van geconjugeerde binominalen
- Product van twee binominale instrumenten met een gemeenschappelijke term
- Kwadraat polynoom
- Binominaal in blokjes
- Kubus van een trinominaal
- Opgeloste oefeningen van opmerkelijke producten
- Oefening 1
- Oplossing
- Oefening 2
- Oplossing
- Referenties
De opmerkelijke producten zijn algebraïsche operaties, waarbij vermenigvuldigingen van polynomen worden uitgedrukt, die niet traditioneel hoeven te worden opgelost, maar met behulp van bepaalde regels kunnen de resultaten daarvan worden gevonden.
Polynomen worden vermenigvuldigd met ja, daarom is het mogelijk dat ze een groot aantal termen en variabelen hebben. Om het proces korter te maken, worden de opmerkelijke productregels gebruikt, die vermenigvuldiging mogelijk maken zonder term voor term te hoeven gaan.
Opmerkelijke producten en voorbeelden
Elk opmerkelijk product is een formule die het resultaat is van een factorisatie, bestaande uit polynomen met verschillende termen, zoals binominalen of trinominalen, factoren genoemd.
Factoren vormen de basis van een macht en hebben een exponent. Als de factoren worden vermenigvuldigd, moeten de exponenten worden opgeteld.
Er zijn verschillende opmerkelijke productformules, sommige worden meer gebruikt dan andere, afhankelijk van de polynomen, en ze zijn de volgende:
Binominaal in het kwadraat
Het is de vermenigvuldiging van een binominaal op zichzelf, uitgedrukt als een macht, waarbij de termen worden opgeteld of afgetrokken:
naar. Vierkante som binominaal: het is gelijk aan het kwadraat van de eerste term, plus tweemaal het product van de termen, plus het kwadraat van de tweede term. Het wordt als volgt uitgedrukt:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
In de volgende afbeelding kun je zien hoe het product zich ontwikkelt volgens de eerder genoemde regel. Het resultaat wordt de trinominale van een perfect vierkant genoemd.
voorbeeld 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Voorbeeld 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binominale aftrekking in het kwadraat: dezelfde regel van de binominale waarde van een som is van toepassing, alleen is in dit geval de tweede term negatief. De formule is de volgende:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = een 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = een 2 - 2ab + b 2 .
voorbeeld 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Product van geconjugeerde binominalen
Twee binominale termen worden geconjugeerd wanneer de tweede termen van elk verschillende tekens hebben, dat wil zeggen, de eerste is positief en de tweede negatief of vice versa. Het wordt opgelost door elke monomiaal kwadraat en af te trekken. De formule is de volgende:
(a + b) * (a - b)
In de volgende afbeelding wordt het product van twee geconjugeerde binominale waarden ontwikkeld, waarbij wordt opgemerkt dat het resultaat een verschil in vierkanten is.
voorbeeld 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Product van twee binominale instrumenten met een gemeenschappelijke term
Het is een van de meest complexe en zelden gebruikte opmerkelijke producten omdat het een vermenigvuldiging is van twee binominale waarden die een gemeenschappelijke term hebben. De regel stelt het volgende:
- Het kwadraat van de algemene term.
- Plus de som van de termen die niet vaak voorkomen en vermenigvuldig ze vervolgens met de algemene term.
- Plus de som van de vermenigvuldiging van de termen die niet gebruikelijk zijn.
Het wordt weergegeven in de formule: (x + a) * (x + b) en is ontwikkeld zoals weergegeven in de afbeelding. Het resultaat is een niet-perfect vierkant trinominaal.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Het is mogelijk dat de tweede term (de andere term) negatief is en de formule als volgt is: (x + a) * (x - b).
Voorbeeld 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Het kan ook zijn dat beide verschillende termen negatief zijn. De formule is: (x - a) * (x - b).
Voorbeeld 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Kwadraat polynoom
In dit geval zijn er meer dan twee termen en om deze te ontwikkelen, wordt elke term gekwadrateerd en opgeteld met tweemaal de vermenigvuldiging van de ene term met de andere; de formule is: (a + b + c) 2 en het resultaat van de operatie is een kwadraat trinominaal.
voorbeeld 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binominaal in blokjes
Het is een opmerkelijk complex product. Om het te ontwikkelen, wordt de binominale waarde als volgt vermenigvuldigd met zijn kwadraat:
naar. Voor de binominale blokjes van een som:
- De kubus van de eerste term, plus het drievoudige kwadraat van de eerste term maal de tweede.
- Plus het drievoud van de eerste term, maal het tweede kwadraat.
- Plus de kubus van de tweede term.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (een 2 + 2ab + b 2 )
(een + b) 3 = een 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(een + b) 3 = een 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
voorbeeld 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(een + 3) 3 = een 3 + 3 (een) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(een + 3) 3 = een 3 + 9 een 2 + 27a + 27.
b. Voor de binominale blokjes van een aftrekking:
- De kubus van de eerste term, min driemaal het kwadraat van de eerste term maal de tweede.
- Plus het drievoud van de eerste term, maal het tweede kwadraat.
- Minus de kubus van de tweede term.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (een 2 - 2ab + b 2 )
(een - b) 3 = een 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(een - b) 3 = een 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Voorbeeld 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Kubus van een trinominaal
Het wordt ontwikkeld door het te vermenigvuldigen met het kwadraat. Het is een zeer uitgebreid opmerkelijk product omdat je 3 termen in blokjes hebt, plus drie keer elke term in het kwadraat, vermenigvuldigd met elk van de termen, plus zes keer het product van de drie termen. Beter gezien:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(een + b + c) 3 = (een + b + c) * (een 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(een + b + c) 3 = een 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
voorbeeld 1
Opgeloste oefeningen van opmerkelijke producten
Oefening 1
Vouw de volgende binominale blokjes uit: (4x - 6) 3 .
Oplossing
Onthoud dat een binominaal in blokjes gelijk is aan de eerste term in blokjes, min drievoudig het kwadraat van de eerste term maal de tweede; plus het drievoud van de eerste term, maal het tweede kwadraat, minus de kubus van de tweede term.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Oefening 2
Ontwikkel de volgende binominale waarde: (x + 3) (x + 8).
Oplossing
Er is een binominale term waarbij er een algemene term is, namelijk x en de tweede term is positief. Om het te ontwikkelen, hoef je alleen de algemene term te kwadrateren, plus de som van de termen die niet vaak voorkomen (3 en 8) en ze vervolgens te vermenigvuldigen met de algemene term, plus de som van de vermenigvuldiging van de termen die niet vaak voorkomen.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Referenties
- Angel, AR (2007). Elementaire algebra. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
- Das, S. (zd). Maths Plus 8. Verenigd Koninkrijk: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementaire en gemiddelde algebra: een gecombineerde aanpak. Florida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.