CROSSPRODUCT: EIGENSCHAPPEN, TOEPASSINGEN EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

Het kruisproduct of vectorproduct is een manier om twee of meer vectoren te vermenigvuldigen. Er zijn drie manieren om vectoren te vermenigvuldigen, maar geen van deze is vermenigvuldiging in de gebruikelijke zin van het woord. Een van deze vormen staat bekend als een vectorproduct, wat resulteert in een derde vector.

Het kruisproduct, ook wel het kruisproduct of uitproduct genoemd, heeft verschillende algebraïsche en geometrische eigenschappen. Deze eigenschappen zijn erg handig, vooral in termen van de studie van de natuurkunde.

Definitie

Een formele definitie van het vectorproduct is de volgende: als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3) vectoren zijn, dan is het vectorproduct van A en B, dat we zullen aanduiden als AxB:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Vanwege de AxB-notatie wordt het gelezen als "A cross B".

Een voorbeeld van het gebruik van het uitproduct is dat als A = (1, 2, 3) en B = (3, -2, 4) vectoren zijn, we de definitie van een vectorproduct gebruiken, hebben we:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Een andere manier om het vectorproduct uit te drukken, wordt gegeven door de notatie van determinanten.

De berekening van een determinant van de tweede orde wordt gegeven door:

Daarom kan de formule voor het kruisproduct in de definitie als volgt worden herschreven:

Dit wordt meestal als volgt vereenvoudigd tot een determinant van de derde orde:

Waar i, j, k de vectoren vertegenwoordigen die de basis vormen van R ³ .

Met behulp van deze manier om het kruisproduct uit te drukken, hebben we dat het vorige voorbeeld kan worden herschreven als:

Eigendommen

Enkele eigenschappen die het vectorproduct bezit, zijn de volgende:

Eigendom 1

Als A een vector is in R ³ , hebben we:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Deze eigenschappen zijn eenvoudig te controleren met alleen de definitie. Als A = (a1, a2, a3) hebben we:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Als i, j, k de eenheidsbasis van R ^{3 vertegenwoordigen} , kunnen we ze als volgt schrijven:

ik = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

We hebben dus dat de volgende eigenschappen waar zijn:

Als geheugensteuntje wordt de volgende cirkel vaak gebruikt om deze eigenschappen te onthouden:

Daar moeten we opmerken dat elke vector met zichzelf vector 0 als resultaat geeft, en de rest van de producten kan worden verkregen met de volgende regel:

Het kruisproduct van twee opeenvolgende vectoren met de klok mee geeft de volgende vector; en wanneer de richting tegen de klok in wordt beschouwd, is het resultaat de volgende vector met een negatief teken.

Dankzij deze eigenschappen kunnen we zien dat het vectorproduct niet commutatief is; Merk bijvoorbeeld op dat ixj ≠ jx i. De volgende eigenschap vertelt ons hoe AxB en BxA in het algemeen gerelateerd zijn.

Eigendom 2

Als A en B vectoren zijn van R ³ , hebben we:

AxB = - (BxA).

Demonstratie

Als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3), hebben we per definitie van extern product:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

We kunnen ook zien dat dit product niet associatief is met het volgende voorbeeld:

ix (ixj) = ixk = - j maar (ixi) xj = 0xj = 0

Hieruit kunnen we zien dat:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Eigendom 3

Als A, B, C vectoren zijn van R ³ en r een reëel getal is, is het volgende waar:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Dankzij deze eigenschappen kunnen we het vectorproduct berekenen volgens de wetten van de algebra, op voorwaarde dat de volgorde wordt gerespecteerd. Bijvoorbeeld:

Als A = (1, 2, 3) en B = (3, -2, 4), kunnen we ze herschrijven in termen van de canonieke basis van R ³ .

Dus A = i + 2j + 3k en B = 3i - 2j + 4k. Vervolgens de vorige eigenschappen toepassen:

AxB = (ik + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Eigenschap 4 (product met drie stippen)

Zoals we in het begin al zeiden, zijn er naast het vectorproduct nog andere manieren om vectoren te vermenigvuldigen. Een van deze manieren is het scalaire product of inproduct, dat wordt aangeduid als A ∙ B en waarvan de definitie is:

Als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3), dan is A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

De eigenschap die beide producten met elkaar verbindt, staat bekend als het drievoudige scalaire product.

Als A, B en C vectoren zijn van R ³ , dan is A ∙ BxC = AxB ∙ C

Laten we als voorbeeld eens kijken dat, gegeven A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) en C = (- 5, 1, - 4), aan deze eigenschap is voldaan.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Anderzijds:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Een ander drievoudig product is Ax (BxC), dat bekend staat als het drievoudige vectorproduct.

Eigenschap 5 (drievoudig vectorproduct)

Als A, B en C vectoren zijn van R ³ , dan:

Bijl (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Laten we als voorbeeld eens kijken dat, gegeven A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) en C = (- 5, 1, - 4), aan deze eigenschap is voldaan.

Uit het vorige voorbeeld weten we dat BxC = (- 18, - 22, 17). Laten we Ax (BxC) berekenen:

Bijl (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Aan de andere kant moeten we:

EEN ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

We moeten dus:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Eigenschap 6

Het is een van de geometrische eigenschappen van vectoren. Als A en B twee vectoren zijn in R ³ en ϴ de hoek is die tussen hen wordt gevormd, dan:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), waarbij - ∙ - de modulus of magnitude van een vector aangeeft.

De geometrische interpretatie van deze eigenschap is als volgt:

Laat A = PR en B = PQ. Dus de hoek gevormd door vectoren A en B is de hoek P van driehoek RQP, zoals weergegeven in de volgende afbeelding.

Daarom is het gebied van het parallellogram dat PR en PQ heeft als aangrenzende zijden --A ---- B - sin (ϴ), aangezien we --A-- kunnen nemen als basis en de hoogte wordt gegeven door --B - zonde (ϴ).

Daarom kunnen we concluderen dat --AxB-- het gebied is van genoemd parallellogram.

Voorbeeld

Gegeven de volgende hoekpunten van een vierhoek P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) en S (5,7, -3), laat zien dat genoemde vierhoek is een parallellogram en zoek het gebied.

Hiervoor bepalen we eerst de vectoren die de richting van de zijden van de vierhoek bepalen. Dit is:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Zoals we kunnen zien, hebben A en C dezelfde richtvector, waarvoor we hebben dat beide parallel zijn; hetzelfde gebeurt met B en D. Daarom concluderen we dat PQRS een parallellogram is.

Om de oppervlakte van dit parallellogram te hebben, berekenen we BxA:

BxA = (ik + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Daarom zal het vierkante gebied zijn:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Geconcludeerd kan worden dat het parallellogramgebied de vierkantswortel is van 89.

Eigenschap 7

Twee vectoren A en B zijn parallel in R ³ als en slechts als AxB = 0

Demonstratie

Het is duidelijk dat als A of B de nulvector is, voldaan is aan AxB = 0. Omdat de nulvector parallel is aan een andere vector, is de eigenschap geldig.

Als geen van de twee vectoren de nulvector is, is hun grootte anders dan nul; dat wil zeggen, zowel --A-- ≠ 0 als --B-- ≠ 0, dus we zullen --AxB-- = 0 hebben als en slechts als sin (ϴ) = 0, en dit gebeurt als en slechts als ϴ = π of ϴ = 0.

Daarom kunnen we AxB = 0 concluderen als en slechts als ϴ = π of ϴ = 0, wat alleen gebeurt als beide vectoren parallel aan elkaar zijn.

Eigenschap 8

Als A en B twee vectoren zijn in R ³ , dan staat AxB loodrecht op zowel A als B.

Demonstratie

Laten we voor dit bewijs onthouden dat twee vectoren loodrecht staan ​​als A ∙ B gelijk is aan nul. Verder weten we dat:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, maar AxA is gelijk aan 0. Daarom hebben we:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Hieruit kunnen we concluderen dat A en AxB loodrecht op elkaar staan. Analoog moeten we:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Omdat BxB = 0, hebben we:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

AxB en B staan ​​dus loodrecht op elkaar en daarmee wordt de eigenschap aangetoond. Dit is erg handig voor ons, omdat ze ons in staat stellen de vergelijking van een vlak te bepalen.

voorbeeld 1

Verkrijg een vergelijking van het vlak dat door de punten P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) en R (2, 1, 3) gaat.

Stel dat A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) en B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Dan is A = - i + 3j + k en B = i - 2j + k. Om het vlak te vinden dat door deze drie punten wordt gevormd, is het voldoende om een ​​vector te vinden die loodrecht op het vlak staat, namelijk AxB.

AxB = (- ik + 3j + k) X (ik - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Met deze vector, en door het punt P (1, 3, 2) te nemen, kunnen we de vergelijking van het vlak als volgt bepalen:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

We hebben dus dat de vergelijking van het vlak 5x + 2y - z - 9 = 0 is.

Voorbeeld 2

Zoek de vergelijking van het vlak dat het punt P (4, 0, - 2) bevat en dat loodrecht staat op elk van de vlakken x - y + z = 0 en 2x + y - 4z - 5 = 0.

Wetende dat een normaalvector naar een vlakke ax + by + cz + d = 0 is (a, b, c), hebben we dat (1, -1,1) een normaalvector is van x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) is een normaalvector van 2x + y - 4z - 5 = 0.

Daarom moet een normaalvector op het gezochte vlak loodrecht staan ​​op (1, -1,1) en op (2, 1, - 4). Deze vector is:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Dan hebben we dat het gezochte vlak degene is die het punt P (4,0, - 2) bevat en de vector (3,6,3) als een normaalvector heeft.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Toepassingen

Berekening van het volume van een parallellepipedum

Een toepassing die het drievoudige scalaire product heeft, is om het volume te kunnen berekenen van een parallellepipedum waarvan de randen worden gegeven door de vectoren A, B en C, zoals weergegeven in de afbeelding:

We kunnen deze toepassing op de volgende manier afleiden: zoals we al eerder zeiden, de vector AxB is een vector die normaal is op het vlak van A en B. We hebben ook dat de vector - (AxB) een andere vector is die normaal op dat vlak staat.

We kiezen de normaalvector die de kleinste hoek vormt met vector C; Laat AxB zonder verlies van algemeenheid de vector zijn waarvan de hoek met C het kleinst is.

We hebben dat zowel AxB als C hetzelfde uitgangspunt hebben. Verder weten we dat het gebied van het parallellogram dat de basis vormt van het parallellepipedum --AxB-- is. Daarom, als de hoogte van het parallellepipedum wordt gegeven door h, hebben we dat het volume zal zijn:

V = --AxB - h.

Aan de andere kant, laten we eens kijken naar het puntproduct tussen AxB en C, dat als volgt kan worden beschreven:

Door trigonometrische eigenschappen hebben we echter dat h = --C - cos (ϴ), dus we hebben:

Op deze manier hebben we dat:

In algemene termen hebben we dat het volume van een parallellepipedum wordt gegeven door de absolute waarde van het drievoudige scalaire product AxB ∙ C.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Gegeven de punten P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) en S = (2, 6, 9), vormen deze punten een parallellepipedum waarvan de randen het zijn PQ, PR en PS. Bepaal het volume van het parallellepipedum.

Oplossing

Als we nemen:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Met behulp van de drievoudige scalaire producteigenschap hebben we:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Daarom hebben we dat het volume van genoemd parallellepipedum 52 is.

Oefening 2

Bepaal het volume van een parallellepipedum waarvan de randen worden gegeven door A = PQ, B = PR en C = PS, waarbij de punten P, Q, R en S zijn (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) en (2, 2, 5), respectievelijk.

Oplossing

Eerst hebben we dat A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

We berekenen AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Vervolgens berekenen we AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.

We concluderen dus dat het volume van genoemd parallellepipedum 1 kubieke eenheid is.

Referenties

1. Leithold, L. (1992). De berekening met analytische meetkunde. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continentaal.
3. Saenz, J. (nd). Vector Calculus 1ed. Hypotenusa.
4. Spiegel, MR (2011). Vectoriële analyse 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG en Wright, W. (2011). Berekening van verschillende variabelen 4ed. Mc Graw Hill.