ADDITIEF PRINCIPE: WAARUIT HET BESTAAT EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

Het additieve principe is een kans-teltechniek waarmee we kunnen meten op hoeveel manieren een activiteit kan worden uitgevoerd, waarbij op zijn beurt meerdere alternatieven kunnen worden uitgevoerd, waarvan er maar één tegelijk kan worden gekozen. Een klassiek voorbeeld hiervan is wanneer u een transportlijn wilt kiezen om van de ene plaats naar de andere te gaan.

In dit voorbeeld komen de alternatieven overeen met alle mogelijke transportlijnen die de gewenste route afleggen, hetzij door de lucht, over zee of over land. We kunnen niet naar een plaats gaan met twee vervoermiddelen tegelijk; we hoeven er maar één te kiezen.

Het additieve principe vertelt ons dat het aantal manieren waarop we deze reis moeten maken, overeenkomt met de som van elk alternatief (vervoermiddel) dat mogelijk bestaat om naar de gewenste plaats te gaan, dit omvat zelfs het vervoermiddel dat ergens een tussenstop maakt (of plaatsen) ertussenin.

Uiteraard zullen we in het vorige voorbeeld altijd het meest comfortabele alternatief kiezen dat het beste bij onze mogelijkheden past, maar waarschijnlijk is het uitermate belangrijk om te weten op hoeveel manieren een evenement kan worden uitgevoerd.

Waarschijnlijkheid

Over het algemeen is waarschijnlijkheid het gebied van de wiskunde dat verantwoordelijk is voor het bestuderen van gebeurtenissen of verschijnselen en willekeurige experimenten.

Een experiment of willekeurig fenomeen is een handeling die niet altijd dezelfde resultaten oplevert, ook al wordt deze onder dezelfde beginvoorwaarden uitgevoerd, zonder dat er iets aan de beginprocedure wordt veranderd.

Een klassiek en eenvoudig voorbeeld om te begrijpen waaruit een willekeurig experiment bestaat, is het gooien van een munt of een dobbelsteen. De actie zal altijd hetzelfde zijn, maar we zullen bijvoorbeeld niet altijd "hoofden" of een "zes" krijgen.

Waarschijnlijkheid is verantwoordelijk voor het verschaffen van technieken om te bepalen hoe vaak een bepaalde willekeurige gebeurtenis kan voorkomen; Naast andere bedoelingen is de belangrijkste het voorspellen van mogelijke toekomstige gebeurtenissen die onzeker zijn.

Waarschijnlijkheid van een evenement

Meer in het bijzonder is de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis A plaatsvindt een reëel getal tussen nul en één; dat wil zeggen een nummer dat bij het interval hoort. Het wordt aangeduid met P (A).

Als P (A) = 1, dan is de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt 100%, en als deze nul is, is er geen kans dat deze plaatsvindt. De steekproefruimte is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten die kunnen worden verkregen door een willekeurig experiment uit te voeren.

Er zijn ten minste vier soorten of concepten van waarschijnlijkheid, afhankelijk van het geval: klassieke waarschijnlijkheid, frequentistische waarschijnlijkheid, subjectieve waarschijnlijkheid en axiomatische waarschijnlijkheid. Elk richt zich op verschillende gevallen.

Klassieke waarschijnlijkheid omvat het geval waarin de monsterruimte een eindig aantal elementen heeft.

In dit geval is de kans dat een gebeurtenis A optreedt, het aantal beschikbare alternatieven om het gewenste resultaat te verkrijgen (dat wil zeggen, het aantal elementen in set A), gedeeld door het aantal elementen in de monsterruimte.

Hier moet rekening mee worden gehouden dat alle elementen van de steekproefruimte even waarschijnlijk moeten zijn (bijvoorbeeld als gegeven dat niet wordt gewijzigd, waarbij de kans op het verkrijgen van een van de zes getallen hetzelfde is).

Hoe groot is bijvoorbeeld de kans dat het gooien van een dobbelsteen een oneven getal krijgt? In dit geval zou de set A bestaan ​​uit alle oneven getallen tussen 1 en 6, en de monsterruimte zou bestaan ​​uit alle getallen van 1 tot 6. Dus A heeft 3 elementen en de monsterruimte heeft 6. Dus Daarom is P (A) = 3/6 = 1/2.

Wat is het additief principe?

Zoals eerder vermeld, meet de waarschijnlijkheid hoe vaak een bepaalde gebeurtenis voorkomt. Om deze frequentie te kunnen bepalen, is het belangrijk om te weten op hoeveel manieren deze gebeurtenis kan worden uitgevoerd. Door het additieve principe kunnen we deze berekening in een bepaald geval maken.

Het additieve principe stelt het volgende vast: Als A een gebeurtenis is die een "a" -manier heeft om uitgevoerd te worden, en B een andere gebeurtenis is die een "b" -manier heeft om uitgevoerd te worden, en als bovendien alleen A of B kan plaatsvinden en niet beide tegelijkertijd tegelijkertijd, dan zijn de manieren om A of B (A deB) te realiseren a + b.

In het algemeen wordt dit vermeld voor de vereniging van een eindig aantal sets (groter dan of gelijk aan 2).

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

Als een boekhandel boeken over literatuur, biologie, geneeskunde, architectuur en scheikunde verkoopt, waarvan er 15 verschillende soorten boeken over literatuur, 25 over biologie, 12 over geneeskunde, 8 over architectuur en 10 over scheikunde zijn, hoeveel opties heeft iemand dan een architectuurboek of een biologieboek kiezen?

Het additieve principe vertelt ons dat het aantal opties of manieren om deze keuze te maken 8 + 25 = 33 is.

Dit principe kan ook worden toegepast in het geval dat het om één gebeurtenis gaat, die op zijn beurt weer verschillende alternatieven heeft.

Stel dat je een bepaalde activiteit of gebeurtenis A wilt uitvoeren, en dat er meerdere alternatieven voor zijn, zeg n.

Het eerste alternatief heeft op zijn beurt ₁ manieren om gedaan te worden, het tweede alternatief heeft ₂ manieren om gedaan te worden, enzovoort, alternatief nummer n kan op _n manieren worden gedaan .

Het additieve principe stelt dat gebeurtenis A op _n manieren kan worden uitgevoerd op ₁ + tot ₂ +… + .

Tweede voorbeeld

Stel dat iemand een paar schoenen wil kopen. Als hij bij de schoenenwinkel aankomt, vindt hij slechts twee verschillende modellen van zijn schoenmaat.

Er zijn twee beschikbare kleuren van de ene en vijf beschikbare kleuren van de andere. Op hoeveel manieren moet deze persoon deze aankoop doen? Volgens het additieve principe is het antwoord 2 + 5 = 7.

Het additieve principe moet worden gebruikt als u de manier wilt berekenen om de ene of de andere gebeurtenis uit te voeren, niet beide tegelijk.

Om de verschillende manieren te berekenen om een ​​gebeurtenis samen ("en") met een andere uit te voeren - dat wil zeggen dat beide gebeurtenissen gelijktijdig moeten plaatsvinden - wordt het multiplicatieve principe gebruikt.

Het additieve principe kan in termen van waarschijnlijkheid ook als volgt worden geïnterpreteerd: de kans dat een gebeurtenis A of een gebeurtenis B plaatsvindt, die wordt aangeduid met P (A∪B), wetende dat A niet gelijktijdig met B kan plaatsvinden, wordt gegeven door P (A∪B) = P (A) + P (B).

Derde voorbeeld

Wat is de kans om een ​​5 te krijgen bij het gooien van een dobbelsteen of heads bij het opgooien van een munt?

Zoals hierboven te zien is, is de kans om een ​​getal te krijgen bij het gooien van een dobbelsteen over het algemeen 1/6.

In het bijzonder is de kans om een ​​5 te krijgen ook 1/6. Evenzo is de kans om kop te krijgen bij het opgooien van een munt 1/2. Daarom is het antwoord op de vorige vraag P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Referenties

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: de weg bereiden voor klassieke waarschijnlijkheid en haar toepassingen. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Inleiding tot de waarschijnlijkheidstheorie. Nationaal van Colombia.
3. Daston, L. (1995). Klassieke waarschijnlijkheid in de verlichting. Princeton University Press.
4. Hopkins, B. (2009). Bronnen voor het lesgeven in discrete wiskunde: klaslokaalprojecten, geschiedenismodules en artikelen.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Discrete wiskunde. Pearson Education.
6. Larson, HJ (1978). Inleiding tot kansrekening en statistische gevolgtrekking. Redactioneel Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Eindige en discrete wiskundige probleemoplosser. Editors van Research & Education Association.
8. Martel, PJ en Vegas, FJ (1996). Waarschijnlijkheids- en wiskundige statistiek: toepassingen in de klinische praktijk en gezondheidsmanagement. Díaz de Santos-edities.
9. Padró, FC (2001). Discrete wiskunde. Politèc. van Catalunya.
10. Steiner, E. (2005). Wiskunde voor toegepaste wetenschappen. Reverte.