CONVEXE VEELHOEK: DEFINITIE, ELEMENTEN, EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

Een convexe veelhoek is een geometrische figuur in een vlak dat wordt gekenmerkt doordat het al zijn diagonalen in het binnenste heeft en de hoeken kleiner zijn dan 180 °. Onder de eigenschappen zijn de volgende:

1) Het bestaat uit n opeenvolgende segmenten waarbij de laatste van de segmenten samenkomt met de eerste. 2) Geen van de segmenten kruisen elkaar zodanig dat het vlak in een binnengebied en een buitengebied wordt afgebakend. 3) Elke hoek in het binnengebied is strikt kleiner dan een vlakke hoek.

Figuur 1. Veelhoeken 1, 2 en 6 zijn convex. (Opgesteld door Ricardo Pérez).

Een eenvoudige manier om te bepalen of een polygoon convex is of niet, is door de lijn te beschouwen die door een van de zijden loopt, die twee halve vlakken bepaalt. Als in elke lijn die door één zijde loopt, de andere zijden van de veelhoek in hetzelfde halfvlak liggen, dan is het een convexe veelhoek.

Elementen van een veelhoek

Elke polygoon bestaat uit de volgende elementen:

- Zijkanten

- Hoekpunten

De zijkanten zijn elk van de opeenvolgende segmenten die de veelhoek vormen. In een veelhoek kan geen van de segmenten waaruit het bestaat een open uiteinde hebben, in dat geval zou er een veelhoekige lijn zijn, maar geen veelhoek.

Hoekpunten zijn de knooppunten van twee opeenvolgende segmenten. In een veelhoek is het aantal hoekpunten altijd gelijk aan het aantal zijden.

Als twee zijden of segmenten van een polygoon elkaar snijden, heb je een gekruiste polygoon. Het kruispunt wordt niet als een hoekpunt beschouwd. Een kruisende veelhoek is een niet-convexe veelhoek. Sterveelgonen zijn kruisende polygonen en zijn daarom niet convex.

Als een polygoon al zijn zijden even lang heeft, dan hebben we een regelmatige polygoon. Alle regelmatige veelhoeken zijn convex.

Convexe en niet-convexe polygonen

Figuur 1 toont verschillende polygonen, sommige zijn convex en sommige niet. Laten we ze analyseren:

Het getal 1 is een driezijdige veelhoek (driehoek) en alle binnenhoeken zijn kleiner dan 180º, daarom is het een convexe veelhoek. Alle driehoeken zijn convexe polygonen.

Het getal 2 is een vierzijdige veelhoek (vierhoek) waar geen van de zijden elkaar kruisen en elke binnenhoek kleiner is dan 180 °. Het is dan een convexe veelhoek met vier zijden (convexe vierhoek).

Aan de andere kant is het getal 3 een veelhoek met vier zijden, maar een van de binnenhoeken is groter dan 180 °, dus het voldoet niet aan de voorwaarde van convexiteit. Dat wil zeggen, het is een niet-convexe vierzijdige veelhoek die een concave vierhoek wordt genoemd.

Het getal 4 is een veelhoek met vier segmenten (zijden), waarvan er twee elkaar snijden. De vier binnenhoeken zijn kleiner dan 180 °, maar aangezien twee zijden elkaar snijden, is het een niet-convexe gekruiste veelhoek (gekruiste vierhoek).

Een ander geval is het cijfer 5. Dit is een veelhoek met vijf zijden, maar aangezien een van de binnenhoeken groter is dan 180 °, hebben we dan een concave veelhoek.

Ten slotte heeft het getal 6, dat ook vijf zijden heeft, al zijn binnenhoeken kleiner dan 180º, dus het is een convexe veelhoek met vijf zijden (convexe vijfhoek).

Eigenschappen van de convexe veelhoek

1- Een niet-gekruiste veelhoek of eenvoudige veelhoek verdeelt het vlak dat het bevat in twee gebieden. Het binnengebied en het buitengebied, waarbij de polygoon de grens is tussen de twee gebieden.

Maar als de polygoon bovendien convex is, dan hebben we een binnengebied dat eenvoudig met elkaar is verbonden, wat betekent dat het nemen van twee punten uit het binnengebied altijd kan worden verbonden door een segment dat volledig tot het binnengebied behoort.

Figuur 2. Een convexe polygoon is eenvoudig met elkaar verbonden, een concave niet. (Opgesteld door Ricardo Pérez).

2- Elke binnenhoek van een convexe veelhoek is kleiner dan een vlakke hoek (180º).

3- Alle inwendige punten van een convexe veelhoek behoren altijd tot een van de halfvlakken die worden gedefinieerd door de lijn die door twee opeenvolgende hoekpunten loopt.

4- In een convexe veelhoek bevinden alle diagonalen zich volledig in het binnenste veelhoekige gebied.

5- De inwendige punten van een convexe veelhoek behoren volledig tot de convexe hoeksector bepaald door elke binnenhoek.

6- Elke veelhoek waarin al zijn hoekpunten op een omtrek liggen, is een convexe veelhoek die een cyclische veelhoek wordt genoemd.

7- Elke cyclische veelhoek is convex, maar niet elke convexe veelhoek is cyclisch.

8- Elke niet-gekruiste veelhoek (enkelvoudige veelhoek) waarvan alle zijden even lang zijn, is convex en staat bekend als een regelmatige veelhoek.

Diagonalen en hoeken in convexe polygonen

9- Het totale aantal N diagonalen van een convexe veelhoek met n zijden wordt gegeven door de volgende formule:

N = ½ n (n - 3)

Bewijs: In een convexe veelhoek met n zijden van elk hoekpunt worden n - 3 diagonalen getekend, omdat het hoekpunt zelf en de twee aangrenzende zijn uitgesloten. Omdat er n hoekpunten zijn, worden in totaal n (n - 2) diagonalen getekend, maar elke diagonaal is twee keer getekend, dus het aantal diagonalen (zonder herhaling) is n (n-2) / 2.

10- De som S van de binnenhoeken van een convexe veelhoek met n zijden wordt gegeven door de volgende relatie:

S = (n - 2) 180º

Voorbeelden

voorbeeld 1

Cyclische zeshoek is een veelhoek met zes zijden en zes hoekpunten, maar alle hoekpunten bevinden zich op dezelfde omtrek. Elke cyclische veelhoek is convex.

Cyclische zeshoek.

Voorbeeld 2

Bepaal de waarde van de binnenhoeken van een regelmatige enegon.

Oplossing: De enegon is een 9-zijdige veelhoek, maar als hij ook regelmatig is, zijn alle zijden en hoeken gelijk.

De som van alle binnenhoeken van een 9-zijdige veelhoek is:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Maar er zijn 9 interne hoeken van gelijke maat α, dus aan de volgende gelijkheid moet worden voldaan:

S = 9 α = 1260º

Hieruit volgt dat de maat α van elke interne hoek van de reguliere enegon is:

α = 1260º / 9 = 140º