ORTHOHEDRON: FORMULES, OPPERVLAKTE, VOLUME, DIAGONAAL, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De orthohedron is een volumetrische of driedimensionale geometrische figuur die wordt gekenmerkt door zes rechthoekige vlakken, zodat de tegenoverliggende vlakken in evenwijdige vlakken liggen en identieke of congruente rechthoeken zijn. Aan de andere kant bevinden de vlakken grenzend aan een bepaald vlak zich in vlakken loodrecht op dat van het oorspronkelijke vlak.

De orthohedron kan ook worden beschouwd als een orthogonaal prisma met een rechthoekige basis, waarbij de tweevlakshoeken gevormd door de vlakken van twee vlakken grenzend aan een gemeenschappelijke rand 90 ° meten. De tweevlakshoek tussen twee vlakken wordt gemeten op het snijpunt van de vlakken met een loodrecht vlak dat ze gemeen hebben.

Figuur 1. Orthohedron. Bron: F. Zapata met Geogebra.

Evenzo is de ortohedron een rechthoekig parallellepipedum, aangezien dit is hoe het parallellepipedum wordt gedefinieerd als de volumetrische figuur van zes vlakken, die twee aan twee parallel zijn.

In elk parallellepipedum zijn de vlakken parallellogrammen, maar in het rechthoekige parallellepipedum moeten de vlakken rechthoekig zijn.

Delen van de ortohedron

De delen van een veelvlak, zoals de orthohedron, zijn:

-Aristas

-Vertices

-Gezichten

De hoek tussen twee randen van een vlak van de orthohedron valt samen met de tweevlakshoek die wordt gevormd door de andere twee vlakken naast elk van de randen en vormt een rechte hoek. De volgende afbeelding verduidelijkt elk concept:

Figuur 2. Delen van een ortohedron. Bron: F. Zapata met Geogebra.

-In totaal heeft een ortohedron 6 vlakken, 12 randen en 8 hoekpunten.

-De hoek tussen twee randen is een rechte hoek.

-De tweevlakshoek tussen twee vlakken is ook goed.

-In elk vlak zijn er vier hoekpunten en bij elk hoekpunt zijn er drie onderling orthogonale vlakken.

Orthohedron-formules

Oppervlakte

Het oppervlak of gebied van een ortohedron is de som van de gebieden van zijn gezichten.

Als de drie randen die bij een hoekpunt samenkomen, de maten a, b en c hebben, zoals weergegeven in figuur 3, dan heeft de voorkant oppervlakte c⋅b en de onderkant heeft ook oppervlakte c⋅b.

Dan hebben de twee zijvlakken elk een oppervlakte a⋅b. En tot slot hebben de vloer- en plafondvlakken elk een oppervlakte van een tienenc.

Figuur 3. Orthohedron met afmetingen a, b, c. Interne diagonaal D en externe diagonaal d.

Het toevoegen van de oppervlakte van alle gezichten geeft:

Een gemeenschappelijke factor nemen en de voorwaarden rangschikken:

Volume

Als de ortohedron wordt beschouwd als een prisma, wordt het volume als volgt berekend:

In dit geval wordt de vloer met afmetingen c en a genomen als de rechthoekige basis, dus het oppervlak van de basis is c⋅a.

De hoogte wordt gegeven door de lengte b van de randen loodrecht op de vlakken van zijden a en c.

Het vermenigvuldigen van de oppervlakte van de basis (a⋅c) met de hoogte b geeft het volume V van de ortohedron:

Interne diagonaal

In een orthohedron zijn er twee soorten diagonalen: de buitenste diagonalen en de binnenste diagonalen.

De externe diagonalen bevinden zich op de rechthoekige vlakken, terwijl de interne diagonalen de segmenten zijn die twee tegenoverliggende hoekpunten verbinden, begrepen door tegengestelde hoekpunten die geen enkele rand delen.

In een orthohedron zijn er vier interne diagonalen, allemaal even groot. De lengte van de interne diagonalen kan worden verkregen door de stelling van Pythagoras toe te passen op rechthoekige driehoeken.

De lengte d van de externe diagonaal van het vloervlak van de ortohedron voldoet aan de pythagorische relatie:

d ² = een ² + c ²

Evenzo vervult de binnenste diagonaal van maat D de Pythagorische relatie:

D ² = d ² + b ² .

Door de twee vorige uitdrukkingen te combineren, hebben we:

D ² = een ² + c ² + b ² .

Ten slotte wordt de lengte van een van de interne diagonalen van de orthohedron gegeven door de volgende formule:

D = √ (een ² + b ² + c ² ).

Voorbeelden

- Voorbeeld 1

Een metselaar bouwt een tank in de vorm van een ortohedron waarvan de inwendige afmetingen zijn: 6 mx 4 m in sokkel en 2 m hoog. Het vraagt:

a) Bepaal het binnenoppervlak van de tank als deze aan de bovenzijde volledig open is.

b) Bereken het volume van de binnenruimte van de tank.

c) Vind de lengte van een binnendiagonaal.

d) Wat is de inhoud van de tank in liters?

Oplossing voor

We nemen de afmetingen van de rechthoekige basis a = 4 m en c = 6 m en de hoogte als b = 2 m

De oppervlakte van een ortohedron met de gegeven afmetingen wordt gegeven door de volgende relatie:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Het is te zeggen:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Het vorige resultaat is het oppervlak van de gesloten orthohedron met de gegeven afmetingen, maar aangezien het een tank is die volledig onbedekt is in het bovenste gedeelte, moet het oppervlak van het ontbrekende deksel worden afgetrokken om het oppervlak van de binnenwanden van de tank te verkrijgen, namelijk:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Ten slotte zal het binnenoppervlak van de tank zijn: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Oplossing b

Het binnenvolume van de tank wordt gegeven door het volume van een orthohedron van de binnenafmetingen van de tank:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Oplossing c

De inwendige diagonaal van een octaëder met de afmetingen van het inwendige van de tank heeft een lengte D gegeven door:

√ (een ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Bij het uitvoeren van de aangegeven bewerkingen hebben we:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Oplossing d

Om de capaciteit van de tank in liters te berekenen, moet u weten dat het volume van een kubieke decimeter gelijk is aan de capaciteit van een liter. Het was eerder berekend in volume in kubieke meters, maar het moet worden omgezet in kubieke decimeters en vervolgens in liters:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Oefening 2

Een glazen aquarium heeft een kubusvorm met een zijkant van 25 cm. Bepaal de oppervlakte in m ² , het volume in liters en de lengte van een binnendiagonaal in cm.

Figuur 4. Kubusvormig glazen aquarium.

Oplossing

De oppervlakte wordt berekend met dezelfde orthohedron-formule, maar houdt er rekening mee dat alle afmetingen identiek zijn:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ een ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1250 cm ²

Het volume van de kubus wordt gegeven door:

V = een ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0.1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

De lengte D van de binnendiagonaal is:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Referenties

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Hersteld van: youtube.com.
2. Berekening. Cc. Oefeningen en opgeloste problemen van gebieden en volumes. Hersteld van: calculo.cc.
3. Salvador R. Piramide + orthohedron met GEOGEBRA (IHM). Hersteld van: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Hersteld van: es.wikipedia.com