EENDIMENSIONALE GOLVEN: WISKUNDIGE UITDRUKKING EN VOORBEELDEN - FYSIEK - 2026

Één- dimensionale golven zijn die planten zich naar één richting, ongeacht of de trilling in eenzelfde voortplantingsrichting of niet. Een goed voorbeeld hiervan is de golf die als een gitaar door een strakke snaar reist.

In een transversale vlakke golf trillen de deeltjes in verticale richting (ze stijgen en dalen, zie de rode pijl in figuur 1), maar het is eendimensionaal omdat de verstoring slechts in één richting reist, de gele pijl volgend.

Figuur 1: De afbeelding stelt een eendimensionale golf voor. Merk op dat de ruggen en valleien lijnen vormen die evenwijdig aan elkaar zijn en loodrecht op de voortplantingsrichting. Bron: zelf gemaakt.

Eendimensionale golven komen vrij vaak voor in het dagelijks leven. In de volgende sectie worden enkele voorbeelden ervan en ook van golven die niet eendimensionaal zijn, beschreven om de verschillen duidelijk vast te stellen.

Voorbeelden van eendimensionale golven en niet-eendimensionale golven

Eendimensionale golven

Hier zijn enkele voorbeelden van eendimensionale golven die gemakkelijk kunnen worden waargenomen:

- Een geluidspuls die door een rechte staaf gaat, aangezien het een storing is die zich over de gehele lengte van de staaf verspreidt.

- Een golf die zich voortbeweegt door een kanaal van water, zelfs wanneer de verplaatsing van het wateroppervlak niet parallel is aan het kanaal.

- Golven die zich voortplanten op een oppervlak of door een driedimensionale ruimte kunnen ook eendimensionaal zijn, zolang hun golffronten vlakken zijn die evenwijdig aan elkaar lopen en maar in één richting reizen.

Niet-eendimensionale golven

Een voorbeeld van een niet-eendimensionale golf wordt gevonden in golven die zich vormen op een stilstaand wateroppervlak wanneer een steen valt. Het is een tweedimensionale golf met een cilindrisch golffront.

Figuur 2. De afbeelding geeft een voorbeeld weer van wat een eendimensionale golf NIET IS. Merk op dat de toppen en dalen cirkels vormen en de voortplantingsrichting radiaal naar buiten is, het is dan een cirkelvormige tweedimensionale golf. Bron: Pixabay.

Een ander voorbeeld van een niet-eendimensionale golf is de geluidsgolf die een voetzoeker opwekt door op een bepaalde hoogte te exploderen. Dit is een driedimensionale golf met bolvormige golffronten.

Wiskundige uitdrukking van een eendimensionale golf

De meest algemene manier om een ​​eendimensionale golf uit te drukken die zich zonder verzwakking voortplant in de positieve richting van de xy-as met snelheid v is wiskundig:

In deze uitdrukking vertegenwoordigt y de storing op positie x op tijdstip t. De vorm van de golf wordt gegeven door de functie f. De golffunctie die wordt weergegeven in figuur 1 is bijvoorbeeld: y (x, t) = cos (x - vt) en het golfbeeld komt overeen met het moment t = 0.

Een golf als deze, beschreven door een cosinus- of sinusfunctie, wordt een harmonische golf genoemd. Hoewel het niet de enige golfvorm is die er bestaat, is het van het grootste belang, omdat elke andere golf kan worden weergegeven als een superpositie of een som van harmonische golven. Het is de bekende Fourier-stelling, die zo veel wordt gebruikt om allerlei soorten signalen te beschrijven.

Wanneer de golf in de negatieve richting van de x-as reist, verander dan eenvoudig v in -v in argument, waarbij je overblijft:

Figuur 3 toont de animatie van een golf die naar links reist: het is een vorm die de Lorentz-functie wordt genoemd en de wiskundige uitdrukking ervan is:

In dit voorbeeld is de voortplantingssnelheid v = 1, -een eenheid ruimte voor elke tijdseenheid-.

Figuur 3. Voorbeeld van een Lorentzgolf die naar links reist met snelheid v = 1. Bron: opgesteld door F. Zapata met Geogebra.

Eendimensionale golfvergelijking

De golfvergelijking is een partiële afgeleide vergelijking, waarvan de oplossing natuurlijk een golf is. Het legt de wiskundige relatie vast tussen het ruimtelijke deel en het tijdelijke deel ervan, en heeft de vorm:

Uitgewerkt voorbeeld

Het volgende is de algemene uitdrukking y (x, t) voor een harmonische golf:

a) Beschrijf de fysische betekenis van de parameters A, k, ω en θo.

b) Welke betekenis hebben de ± tekens in het cosinusargument?

c) Verifieer dat de gegeven uitdrukking inderdaad de oplossing is van de golfvergelijking van de vorige sectie en zoek de voortplantingssnelheid v.

Oplossing voor)

De kenmerken van de golf zijn te vinden in de volgende parameters:

Tweede afgeleide met betrekking tot t: ∂ ² en / ∂t ² = -ω ² . EEN ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Deze resultaten worden gesubstitueerd in de golfvergelijking:

Zowel A als de cosinus zijn vereenvoudigd, omdat ze aan beide zijden van de gelijkheid voorkomen en het argument van de cosinus hetzelfde is, daarom reduceert de uitdrukking tot:

Wat het mogelijk maakt om een ​​vergelijking te krijgen voor v in termen van ω en k:

Referenties

1. E-educatief. Vergelijking van eendimensionale harmonische golven. Hersteld van: e-ducativa.catedu.es
2. De hoek van de natuurkunde. Wave lessen. Hersteld van: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Golven en kwantumfysica. Serie: Physics for Science and Engineering. Bewerkt door Douglas Figueroa. Simon Bolivar Universiteit. Caracas, Venezuela.
4. Fysica Lab. Golfbeweging. Hersteld van: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Lezing 21: De eendimensionale golfvergelijking: D'Alembert's oplossing. Hersteld van: ubc.ca.
6. Wave vergelijking. Hersteld van: en.wikipedia.com