ONTWIKKELDE NOTATIE: WAT HET IS, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De ontwikkelde notatie is er een waarin een numeriek getal wordt uitgedrukt als een som waarin de plaatswaarde van elk cijfer waaruit het getal bestaat, wordt meegerekend.

Als u bijvoorbeeld een cijfer als 2345 schrijft, heeft elk cijfer daarin een positionele hiërarchie. Als je van het uiterst rechtse cijfer naar links leest, groeit de hiërarchie of waarde.

Figuur 1. Met negen grafemen is het mogelijk om elk getal weer te geven.

In figuur 2345 staat het cijfer 5 voor vijf eenheden, het cijfer 4 staat voor vier tienen, de 3 komt overeen met de derde positie van links naar rechts en daarom staat de 3 voor drie honderden, tenslotte staat de 2 voor tweeduizend. Met andere woorden, in ontwikkelde of uitgebreide notatie, wordt het cijfer 2345 als volgt geschreven:

2345 = 2 duizenden + 3 honderden + 4 tientallen + 5 enen

Maar het kan ook op de volgende manier worden uitgedrukt:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

Ook het getal 2345 kan worden geschreven als de som van machten van 10:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

Waar de circumflex ^ betekent verhogen tot de aangegeven exponent. Bijvoorbeeld 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Een andere manier om de exponenten te schrijven is door een superscript te gebruiken:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Positioneel nummeringssysteem

Het Arabische cijfersysteem zijn de cijfers die dagelijks in de overgrote meerderheid van continenten en landen van de wereld worden gebruikt. Arabische cijfers zijn een basis 10-systeem omdat tien symbolen of grafemen worden gebruikt om elk nummer te schrijven. Deze tien symbolen zijn:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Met slechts één van deze symbolen kunnen cijfers tussen nul en negen worden uitgedrukt. Om cijfers groter dan negen uit te drukken, wordt het positiesysteem in basis tien gebruikt. Het getal 10 is een tien en nul. Het nummer 11 is een tien en een eenheid. Het getal 123 (honderd drieëntwintig) is honderd, twee tienen en drie. Geschreven in de vorm van machten van tien zal het getal 123 zijn:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

Waar:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

Met dit voorbeeld is het duidelijk dat de positie van het cijfer uiterst rechts positie 0 is en het aantal eenheden vertegenwoordigt, die van het tweede cijfer van rechts naar links positie 1 en het aantal tientallen, het derde cijfer (van rechts links) heeft positie 2 en vertegenwoordigt de honderden.

Figuur 2. Ontwikkelde notatie van de figuur 123.

Breuk- of decimale getallen

Met het decimale positiesysteem is het ook mogelijk om getallen of cijfers weer te geven die kleiner zijn dan de eenheid of die groter zijn dan de eenheid, maar geen gehele getallen, dat wil zeggen dat ze fracties van de eenheid hebben.

Om de breuk ½ in het Arabische decimale systeem weer te geven, dat wil zeggen de helft van de eenheid, wordt geschreven:

½ = 0,5

Om tot deze uitdrukking in ons basis 10-systeem te komen, zijn de volgende bewerkingen impliciet uitgevoerd:

1- De teller en de noemer worden vermenigvuldigd met 5 om de equivalente breuk 5/10 = 1/2 te hebben.

2 - Delen door 10 is gelijk aan vermenigvuldigen met de macht in basis tien met exponent min één (10 ^ -1), dat wil zeggen 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3- De negatieve exponent geeft aan hoe vaak het aangegeven cijfer is verplaatst of naar rechts is gepositioneerd vanaf de positie van de eenheid, in ons geval zou dit 0,5 zijn.

4- ½ = 0,5 in uitgebreide notatie wordt als volgt geschreven:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

Waarbij 10 ^ -1 = 0,1 een tiende is (de fractie die overeenkomt met de eenheid verdeeld in 10 gelijke delen).

Op deze manier komt het getal 0,5 overeen met vijf tienden, maar het getal 0,05 komt overeen met 5 honderdsten en 0,005 met 5 duizendsten.

Voorbeelden van uitgebreide notatie

voorbeeld 1

Gegeven het cijfer 40201 in standaardnotatie, converteert u het naar uitgebreide notatie.

Oplossing:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

Voorbeeld 2

Schrijf de breuk ¾ in uitgebreide notatie.

Oplossing:

In dit geval heb je driekwart van de eenheid.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

In woorden zou het er als volgt uitzien:

De breuk ¾ komt overeen met zeven tienden plus vijf honderdsten.

Ontwikkelde notatieoefeningen

Oefening 1

Zeg met woorden de uitgebreide uitdrukking van het getal 40201 uit voorbeeld 1.

Oplossing:

De ontwikkelde notatie ziet er als volgt uit:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

Dat in woordtaal wordt gezegd:

Vier tienduizenden, plus nul duizenden, plus tweehonderd, plus nul tienen, plus één eenheid.

Oefening 2

Druk de vorige figuur in woorden uit en verdeel de bijbehorende zin in uitgebreide vorm.

Oplossing:

Het getal 40201 wordt in woorden als volgt uitgedrukt:

Veertigduizend tweehonderd één

De vorige zin kan worden ontwikkeld als:

40 × 1000 + 2 × 100 + 1

Men kan zeggen dat de manier waarop de cijfers worden uitgesproken een semi-ontwikkelde manier is om ze uit te drukken.

Oefening 3

Schrijf het nummer 7/3 in uitgevouwen vorm.

Oplossing:

Het is een cijfer dat wordt uitgedrukt als een onjuiste breuk, aangezien aangezien de teller groter is dan de noemer, het cijfer groter is dan de eenheid.

Deze oneigenlijke fractie kan worden ontleed als de som van de fracties 6/3 + 1/3. De eerste van de breuken resulteert in een geheel getal 2, terwijl 1/3 = 0,333333, waarbij het cijfer 3 voor onbepaalde tijd wordt herhaald. Dus de uitgebreide decimale uitdrukking van het cijfer 7/3 zal altijd een geschatte uitdrukking zijn:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Oefening 6

Schrijf in standaardnotatie en vervolgens in uitgebreide vorm het getal: drieëntwintig miljard tweehonderdvijftig miljoen vijfhonderd zesentwintig duizend driehonderd vijfentwintig en drie drieëntwintig duizendsten.

Oplossing:

Er moet aan worden herinnerd dat een miljard het equivalent is van een miljard. Het woord miljard werd in 1995 door de Koninklijke Spaanse Academie aanvaard op verzoek van wijlen Venezolaanse president Rafael Caldera, een lid van de Venezolaanse Academie voor de Taal. In dat geval wordt het cijfer voor de oefening in standaardnotatie als volgt geschreven:

23,2501526,325,023

23 miljard + 250 miljoen + 526 duizend + 325 eenheden + 23 duizendsten.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Ten slotte wordt de figuur in uitgebreide notatie geschreven:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Referenties

1. Khan Academy. Plaatswaardediagrammen. Hersteld van: es.khanacademy.org
2. Khan Academy. Schrijf een getal in uitgevouwen vorm (video). Hersteld van: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): Universal history of figures. Espasa Calpe SA
4. Wikipedia. Positionele notatie. Hersteld van: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Miljard. Hersteld van: es.wikipedia.com