VERVOEG INTERNE EN EXTERNE INVALSHOEKEN: VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

De hoekenconjugaten zijn die welke aan de resultaten zijn toegevoegd om 360 te zijn, ongeacht of de hoeken aangrenzend zijn of niet. Twee geconjugeerde hoeken worden getoond in Figuur 1, aangeduid met α en β.

In dit geval hebben de hoeken α en β in de figuur een gemeenschappelijk hoekpunt en zijn hun zijkanten gemeenschappelijk, daarom zijn ze aangrenzend. De relatie tussen hen wordt als volgt uitgedrukt:

α + β = 360º

Figuur 1. Twee geconjugeerde centrale hoeken, som. Bron: Wikimedia Commons. Geen machineleesbare auteur opgegeven. Thiago R Ramos veronderstelde (op basis van auteursrechtclaims). Het is een classificatie van de hoeken door hun som. Andere belangrijke definities zijn onder meer complementaire hoeken, waarvan de som 90 ° is, en aanvullende hoeken, die in totaal 180 ° bedragen.

Aan de andere kant, laten we nu twee parallelle lijnen beschouwen die door een secans zijn gesneden, waarvan de opstelling hieronder wordt weergegeven:

Figuur 2. Parallelle lijnen doorgesneden door een secans. Bron: F. Zapata.

De lijnen MN en PQ zijn parallel, terwijl de lijn RS secans is en de parallellen op twee punten doorsnijdt. Zoals te zien is, bepaalt deze configuratie de vorming van 8 hoeken, die zijn aangegeven met kleine letters.

Welnu, volgens de definitie die aan het begin is gegeven, zijn de hoeken a, b, c en d geconjugeerd. En op dezelfde manier zijn e, f, g en h, aangezien beide gevallen waar zijn:

a + b + c + d = 360º

EN

e + f + g + h = 360º

Voor deze configuratie worden twee hoeken geconjugeerd als ze zich aan dezelfde kant bevinden ten opzichte van de secanslijn RS en beide zijn intern of extern. In het eerste geval spreken we van interne geconjugeerde hoeken, terwijl het in het tweede geval externe geconjugeerde hoeken zijn.

Voorbeelden

In figuur 2 zijn de externe hoeken degene die buiten het gebied liggen dat wordt afgebakend door de lijnen MN en PQ, dit zijn de hoeken A, B, G en H. Terwijl de hoeken tussen de twee lijnen zijn C, D, E en F.

Nu is het nodig om te analyseren welke hoeken naar links en welke rechts van de secans zijn.

Links van RS zijn hoeken A, C, E en G. En rechts zijn hoeken B, D, F en H.

We gaan onmiddellijk verder met het bepalen van de geconjugeerde hoekparen, volgens de definitie in de vorige sectie:

-A en G, buiten en links van RS.

-D en F, intern en rechts van RS.

-B en H, buiten en rechts van RS.

-C en E, intern en links van RS.

Eigenschap van geconjugeerde hoeken tussen parallelle lijnen

De geconjugeerde hoeken tussen parallelle lijnen zijn aanvullend, dat wil zeggen dat hun som gelijk is aan 180º. Op deze manier geldt voor figuur 2 het volgende:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

De paren corresponderende hoeken voor parallelle lijnen

Het zijn degenen die zich aan dezelfde kant van de secanslijn bevinden, ze zijn niet aangrenzend en een ervan is intern en de andere is extern. Het is belangrijk om ze te visualiseren, omdat hun maat hetzelfde is, omdat ze tegenovergestelde hoeken zijn bij de top.

Terugkerend naar figuur 2, worden de corresponderende paren hoeken geïdentificeerd als:

-A en E

-C en G

-B en F.

-D en H

Interne hoeken van een vierhoek

Vierhoeken zijn vierzijdige polygonen, waaronder bijvoorbeeld het vierkant, de rechthoek, het trapezium, het parallellogram en de ruit. Ongeacht hun vorm is het bij elk van hen waar dat de som van hun interne hoeken 360 ° is, daarom voldoen ze aan de definitie die aan het begin is gegeven.

Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden van vierhoeken en hoe we de waarde van hun interne hoeken kunnen berekenen volgens de informatie in de voorgaande secties:

Voorbeelden

a) Drie van de hoeken van een vierhoek meten 75º, 110º en 70º. Hoeveel moet de resterende hoek meten?

b) Vind de waarde van de hoek ∠Q in figuur 3 i.

c) Bereken de maat van de hoek ∠A in figuur 3 ii.

Oplossing voor

Laat α de ontbrekende hoek zijn, er is voldaan dat:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Oplossing b

De getoonde figuur 3i is een trapezium en twee van de interne hoeken zijn rechts, die zijn gemarkeerd met een gekleurd vierkant op de hoeken. Voor deze vierhoek wordt het volgende geverifieerd:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Dus:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Oplossing c

De vierhoek in figuur 3 ii is ook een trapezium, waarvoor het volgende geldt:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Dus:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Om de gevraagde hoek in de verklaring te bepalen, gebruiken we dat ∠A = 4x - 5. Als we de eerder berekende waarde van x vervangen, volgt ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Opdrachten

- Oefening 1

Wetende dat een van de weergegeven hoeken 125 ° is, zoekt u de maten van de 7 resterende hoeken in de volgende afbeelding en rechtvaardigt u de antwoorden.

Figuur 4. De lijnen en hoeken van de oefening 1. Bron: F. Zapata.

Oplossing

Hoek 6 en hoek 125º zijn interne conjugaten, waarvan de som 180º is, volgens de eigenschap van geconjugeerde hoeken, daarom:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Aan de andere kant zijn ∠6 en ∠8 tegenovergestelde hoeken bij het hoekpunt, waarvan de maat hetzelfde is. Daarom meet ∠8 55º.

De hoek ∠1 is ook tegenovergesteld door de top op 125º, dan kunnen we stellen dat ∠1 = 125º. We kunnen ook een beroep doen op het feit dat de overeenkomstige hoekparen dezelfde maat hebben. In de figuur zijn deze hoeken:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Oefening 2

Zoek de waarde van x in de volgende afbeelding en de waarden van alle hoeken:

Figuur 5. Lijnen en hoeken voor oefening 2. Bron: F. Zapata.

Oplossing

Aangezien het overeenkomstige paren zijn, volgt hieruit dat F = 73º. En aan de andere kant is de som van de geconjugeerde paren 180º, dus:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Ten slotte is de waarde van x:

x = 87/3 = 29

Zoals voor alle hoeken, worden ze weergegeven in de volgende afbeelding:

Figuur 6. Hoeken als resultaat van oefening 2. Bron: F. Zapata.

Referenties

1. Hoekgroepen. Complementaire, aanvullende en verklarende invalshoeken. Hersteld van: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Vliegtuig- en ruimtegeometrie en trigonometrie. Patria culturele groep.
3. Corral, M. Mathematics LibreTexts: Angles. Hersteld van: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Hoeken classificeren en construeren door hun meting. Hersteld van: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Vliegtuiggeometrie. Hersteld van: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Geconjugeerde hoeken. Hersteld van: es.wikipedia.org.