- Voorbeelden van complementaire hoeken
- - Voorbeelden A, B en C
- Voorbeeld A
- Voorbeeld B
- Voorbeeld C
- - Voorbeelden D, E en F
- Voorbeeld D
- Voorbeeld E
- Voorbeeld F
- Opdrachten
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing
- - Oefening 3
- Oplossing
- Loodrechte zijhoeken
- Algemene regel voor hoeken van loodrechte zijden
Twee of meer hoeken zijn complementaire hoeken als de som van hun maten overeenkomt met die van een rechte hoek. Zoals bekend is de maat van een rechte hoek in graden 90º, en in radialen π / 2.
De twee hoeken naast de hypotenusa van een rechthoekige driehoek zijn bijvoorbeeld complementair aan elkaar, aangezien de som van hun maten 90 ° is. De volgende figuur is in dit opzicht zeer illustratief:
Figuur 1. Links verschillende hoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt. Naar rechts een hoek van 60º die complementair is aan de hoek α (alfa). Bron: F. Zapata.
In figuur 1 zijn in totaal vier hoeken weergegeven. α en β zijn complementair omdat ze naast elkaar liggen en hun som een rechte hoek vormt. Evenzo is β complementair aan γ, waaruit volgt dat γ en α even groot zijn.
Nu, aangezien de som van α en δ gelijk is aan 90 graden, kan worden gesteld dat α en δ complementair zijn. Bovendien, aangezien β en δ dezelfde complementaire α hebben, kan worden gezegd dat β en δ dezelfde maat hebben.
Voorbeelden van complementaire hoeken
De volgende voorbeelden vragen om de onbekende hoeken te vinden, gemarkeerd met vraagtekens in figuur 2.
Figuur 2. Diverse voorbeelden van complementaire hoeken. Bron: F. Zapata.
- Voorbeelden A, B en C
De volgende voorbeelden zijn in volgorde van complexiteit.
Voorbeeld A
In de figuur hierboven zien we dat de aangrenzende hoeken α en 40º samen een rechte hoek vormen. Dat is α + 40º = 90º, dus α = 90º- 40º = 50º.
Voorbeeld B
Omdat β complementair is aan de hoek van 35º, is β = 90º - 35º = 55º.
Voorbeeld C
Uit figuur 2C hebben we dat de som van γ + 15º + 15º = 90º. Met andere woorden, γ is complementair aan de hoek 30º = 15º + 15º. Zodat:
γ = 90º - 30º = 60º
- Voorbeelden D, E en F
In deze voorbeelden zijn er meer invalshoeken betrokken. Om de onbekenden te vinden, moet de lezer het concept van complementaire hoek zo vaak als nodig toepassen.
Voorbeeld D
Aangezien X complementair is aan 72º, volgt hieruit dat X = 90º - 72º = 18º. Verder is Y complementair aan X, dus Y = 90º - 18º = 72º.
Ten slotte is Z complementair met Y. Uit al het bovenstaande volgt dat:
Z = 90º - 72º = 18º
Voorbeeld E
De hoeken δ en 2δ zijn complementair, dus δ + 2δ = 90º.
Dat wil zeggen, 3δ = 90º, wat inhoudt dat δ = 90º / 3 = 30º.
Voorbeeld F
Als we de hoek tussen que en 10º U noemen, dan is U een aanvulling op beide, omdat wordt opgemerkt dat hun som een rechte hoek voltooit. Waaruit volgt dat U = 80º. Omdat U complementair is aan ω, is ω = 10º.
Opdrachten
Hieronder worden drie oefeningen voorgesteld. In alle gevallen moet de waarde van de hoeken A en B in graden worden gevonden, zodat aan de relaties getoond in figuur 3 wordt voldaan.
Figuur 3. Illustraties voor aanvullende hoekoefeningen. Bron: F. Zapata.
- Oefening 1
Bepaal de waarden van hoeken A en B uit deel I) van figuur 3.
Oplossing
Uit de getoonde figuur is te zien dat A en B complementair zijn, dus A + B = 90º. We vervangen de uitdrukking voor A en B als een functie van x gegeven in deel I):
(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90
De termen worden vervolgens op de juiste manier gegroepeerd en er wordt een eenvoudige lineaire vergelijking verkregen:
(5x / 2) + 22 = 90
Als we 22 van beide leden aftrekken, hebben we:
5x / 2 = 90-22 = 68
En tot slot wordt de waarde van x gewist:
x = 2 * 68/5 = 136/5
Nu wordt de hoek A gevonden door de waarde van X te vervangen:
A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.
Terwijl hoek B is:
B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5e = 69,4 °.
- Oefening 2
Zoek de waarden van de hoeken A en B van afbeelding II, figuur 3.
Oplossing
Nogmaals, aangezien A en B complementaire hoeken zijn, volgt hieruit dat: A + B = 90º. Als we de uitdrukking voor A en B vervangen als een functie van x gegeven in deel II) van figuur 3, hebben we:
(2x - 10) + (4x +40) = 90
Gelijke termen worden samen gegroepeerd om de vergelijking te verkrijgen:
6 x + 30 = 90
Als u beide leden door 6 deelt, krijgt u:
x + 5 = 15
Waaruit volgt dat x = 10º.
Dus:
A = 2 * 10 - 10 = 10º
B = 4 * 10 + 40 = 80º.
- Oefening 3
Bepaal de waarden van hoeken A en B uit deel III) van figuur 3.
Oplossing
Opnieuw wordt de figuur zorgvuldig geanalyseerd om de complementaire hoeken te vinden. In dit geval hebben we dat A + B = 90 graden. Als we de uitdrukking voor A en B als functie van x in de figuur invullen, hebben we:
(-x +45) + (4x -15) = 90
3 x + 30 = 90
Als u beide leden door 3 deelt, krijgt u het volgende:
x + 10 = 30
Waaruit volgt dat x = 20º.
Met andere woorden, de hoek A = -20 +45 = 25º. En van zijn kant: B = 4 * 20 -15 = 65º.
Loodrechte zijhoeken
Twee hoeken zouden loodrechte zijden hebben als elke zijde een overeenkomstige loodlijn op de andere heeft. De volgende afbeelding verduidelijkt het concept:
Figuur 4. Hoeken van loodrechte zijden. Bron: F. Zapata.
In figuur 4 worden bijvoorbeeld de hoeken α en θ bekeken. Merk nu op dat elke hoek zijn corresponderende loodlijn heeft onder de andere hoek.
Men ziet ook dat α en θ dezelfde complementaire hoek z hebben, daarom concludeert de waarnemer onmiddellijk dat α en θ dezelfde maat hebben. Het lijkt er dan op dat als twee hoeken zijden loodrecht op elkaar hebben, ze gelijk zijn, maar laten we naar een ander geval kijken.
Beschouw nu de hoeken α en ω. Deze twee hoeken hebben ook corresponderende loodrechte zijden, maar ze kunnen niet van gelijke grootte worden genoemd, aangezien de ene scherp is en de andere stomp.
Merk op dat ω + θ = 180º. Verder θ = α. Als je deze uitdrukking vervangt door z in de eerste vergelijking, krijg je:
δ + α = 180º, waarbij δ en α onderling loodrechte hoeken van zijden zijn.
Algemene regel voor hoeken van loodrechte zijden
- Baldor, JA 1973. Geometrie van vlak en ruimte. Centraal-Amerikaanse culturele.
- Wiskundige wetten en formules. Hoekmeetsystemen. Hersteld van: ingemecanica.com.
- Wentworth, G. Vliegtuiggeometrie. Hersteld van: gutenberg.org.
- Wikipedia. Complementaire hoeken. Hersteld van: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Transportband. Hersteld van: es.wikipedia.com
- Zapata F. Goniómetro: geschiedenis, onderdelen, bediening. Hersteld van: lifeder.com