- Wat zijn transcendente getallen?
- Het aantal π
- Het nummer e
- Formules waarin het transcendente getal π voorkomt
- De omtrek van de omtrek
- Oppervlakte van een cirkel
- Oppervlakte van een bol
- Volume van de bol
- Opdrachten
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing
- Referenties
De transcendentale getallen zijn die die niet kunnen worden verkregen als resultaat van een polynoomvergelijking. Het tegenovergestelde van een transcendent getal is een algebraïsch getal, dat oplossingen zijn van een polynoomvergelijking van het type:
een n x n + een n-1 x n-1 + …… + een 2 x 2 + een 1 x + een 0 = 0
Waar de coëfficiënten a n , a n-1 ,… .. a 2 , a 1 , a 0 rationale getallen zijn, de coëfficiënten van het polynoom genoemd. Als een getal x een oplossing is voor de vorige vergelijking, dan is dat getal niet transcendent.
Figuur 1. Twee getallen die in de wetenschap van groot belang zijn, zijn transcendente getallen. Bron: publicdomainpictures.net.
We zullen een paar getallen analyseren en kijken of ze transcendent zijn of niet:
a) 3 is niet transcendent omdat het een oplossing is van x - 3 = 0.
b) -2 kan niet transcendent zijn omdat het een oplossing is van x + 2 = 0.
c) ⅓ is een oplossing van 3x - 1 = 0
d) Een oplossing van de vergelijking x 2 - 2x + 1 = 0 is √2 -1, dus dat getal is per definitie niet transcendent.
e) Geen van beide is √2 omdat het het resultaat is van de vergelijking x 2 - 2 = 0. Kwadratuur √2 geeft het resultaat 2, dat afgetrokken van 2 gelijk is aan nul. Dus √2 is een irrationeel getal, maar het is niet transcendent.
Wat zijn transcendente getallen?
Het probleem is dat er geen algemene regel is om ze te verkrijgen (we zullen het later zeggen), maar enkele van de bekendste zijn het getal pi en het Neper-getal, respectievelijk aangeduid met: π en e.
Het aantal π
Het getal π verschijnt natuurlijk door op te merken dat het wiskundige quotiënt tussen de omtrek P van een cirkel en zijn diameter D, ongeacht of het een kleine of grote cirkel is, altijd hetzelfde getal geeft, genaamd pi:
π = P / D ≈ 3,14159 ……
Dit betekent dat als de diameter van de omtrek als maateenheid wordt genomen, voor alle maten, groot of klein, de omtrek altijd P = 3,14… = π zal zijn, zoals te zien is in de animatie in figuur 2.
Figuur 2. De lengte van de omtrek van een cirkel is pi maal de lengte van de diameter, waarbij pi ongeveer 3,1416 is.
Om meer decimalen te bepalen, is het nodig om P en D nauwkeuriger te meten en vervolgens het quotiënt te berekenen, wat wiskundig is gedaan. De conclusie is dat de decimalen van het quotiënt geen einde hebben en zich nooit herhalen, dus het getal π is behalve transcendent ook irrationeel.
Een irrationeel getal is een getal dat niet kan worden uitgedrukt als de deling van twee hele getallen.
Het is bekend dat elk transcendent getal irrationeel is, maar het is niet waar dat alle irrationele getallen transcendent zijn. √2 is bijvoorbeeld irrationeel, maar het is niet transcendent.
Figuur 3. De transcendente getallen zijn irrationeel, maar het omgekeerde is niet waar.
Het nummer e
Het transcendente getal e is de basis van natuurlijke logaritmen en de decimale benadering is:
en ≈ 2,718281828459045235360….
Als je het getal e precies zou willen schrijven, zou het nodig zijn om oneindige decimalen te schrijven, omdat elk transcendent getal irrationeel is, zoals eerder gezegd.
De eerste tien cijfers van e zijn gemakkelijk te onthouden:
2,7 1828 1828 en hoewel het een zich herhalend patroon lijkt te volgen, wordt dit niet bereikt in decimalen van de orde groter dan negen.
Een meer formele definitie van e is als volgt:
Dit betekent dat de exacte waarde van e wordt verkregen door de bewerking uit te voeren die in deze formule wordt aangegeven, wanneer het natuurlijke getal n naar oneindig neigt.
Dit verklaart waarom we alleen benaderingen van e kunnen krijgen, want hoe groot het getal n ook wordt geplaatst, er kan altijd een grotere n worden gevonden.
Laten we zelf op zoek gaan naar enkele benaderingen:
-Als n = 100 dan (1 + 1/100) 100 = 2,70481 wat in het eerste decimaal nauwelijks samenvalt met de "ware" waarde van e.
-Als je n = 10.000 kiest, heb je (1 + 1 / 10.000) 10.000 = 2.71815, wat samenvalt met de “exacte” waarde van e in de eerste drie decimalen.
Dit proces zou oneindig moeten worden gevolgd om de "ware" waarde van e te verkrijgen. Ik denk niet dat we er tijd voor hebben, maar laten we er nog een proberen:
Laten we n = 100.000 gebruiken:
(1 + 1 / 100.000) 100.000 = 2,7182682372
Dat heeft slechts vier decimalen die overeenkomen met de waarde die als exact wordt beschouwd.
Het belangrijkste is om te begrijpen dat hoe hoger de waarde van n die is gekozen om e n te berekenen , hoe dichter deze bij de werkelijke waarde zal zijn. Maar die echte waarde zal alleen gelden als n oneindig is.
Figuur 4. Grafisch wordt getoond hoe hoe hoger de waarde van n, hoe dichter bij e, maar om tot de exacte waarde n te komen moet oneindig zijn.
Andere belangrijke nummers
Naast deze bekende nummers zijn er nog andere transcendente nummers, bijvoorbeeld:
- 2 √2
-Het Champernowne-nummer in basis 10:
C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….
-Het Champernowne-nummer in basis 2:
C_2 = 0.1101110010110111….
-Het gamma-getal γ of de constante van Euler-Mascheroni:
γ ≈ 0,577 215664901532860606
Die wordt verkregen door de volgende berekening uit te voeren:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
Voor als n heel erg groot is. Om de exacte waarde van het Gamma-getal te hebben, zou het nodig zijn om de berekening uit te voeren met n oneindig. Iets vergelijkbaars met wat we hierboven deden.
En er zijn veel meer transcendente getallen. De grote wiskundige Georg Cantor, geboren in Rusland en woonachtig tussen 1845 en 1918, toonde aan dat de reeks transcendente getallen veel groter is dan de reeks algebraïsche getallen.
Formules waarin het transcendente getal π voorkomt
De omtrek van de omtrek
P = π D = 2 π R, waarbij P de omtrek is, D de diameter en R de straal van de omtrek. Houd er rekening mee dat:
-De diameter van de omtrek is het langste segment dat twee punten van hetzelfde verbindt en dat altijd door het midden gaat,
-De straal is de helft van de diameter en is het segment dat van het midden naar de rand gaat.
Oppervlakte van een cirkel
EEN = π R 2 = ¼ π D 2
Oppervlakte van een bol
S = 4 π R 2.
Ja, hoewel het er misschien niet zo uitziet, is het oppervlak van een bol hetzelfde als dat van vier cirkels met dezelfde straal als de bol.
Volume van de bol
V = 4/3 π R 3
Opdrachten
- Oefening 1
De pizzeria "EXÓTICA" verkoopt pizza's met drie diameters: klein 30 cm, medium 37 cm en groot 45 cm. Een jongen heeft veel honger en realiseerde zich dat twee kleine pizza's evenveel kosten als één grote. Wat is er beter voor hem om twee kleine pizza's of één grote te kopen?
Figuur 5. - De oppervlakte van een pizza is evenredig met het kwadraat van de straal, waarbij pi de evenredigheidsconstante is. Bron: Pixabay.
Oplossing
Hoe groter het oppervlak, hoe groter de hoeveelheid pizza, daarom wordt de oppervlakte van een grote pizza berekend en vergeleken met die van twee kleine pizza's:
Oppervlakte van de grote pizza = ¼ π D 2 = ¼ ⋅3,1416⋅45 2 = 1590,44 cm 2
Oppervlakte van de kleine pizza = ¼ π d 2 = ¼ ⋅3,1416⋅30 2 = 706,86 cm 2
Daarom hebben twee kleine pizza's een oppervlakte van
2 x 706,86 = 1413,72 cm 2 .
Het is duidelijk: u zult een grotere hoeveelheid pizza hebben als u één grote koopt dan twee kleine.
- Oefening 2
De pizzeria "EXÓTICA" verkoopt ook een halfronde pizza met een straal van 30 cm voor dezelfde prijs als een rechthoekige pizza van 30 x 40 cm aan elke kant. Welke zou jij kiezen?
Figuur 6. - Het oppervlak van een halve bol is tweemaal het ronde oppervlak van de basis. Bron: F. Zapata.
Oplossing
Zoals vermeld in het vorige gedeelte, is het oppervlak van een bol vier keer dat van een cirkel met dezelfde diameter, dus een halve bol met een diameter van 30 cm heeft:
Halfbolvormige pizza van 30 cm: 1413,72 cm 2 (tweemaal een cirkel van dezelfde diameter)
Rechthoekige pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm 2 .
De halfronde pizza heeft een groter oppervlak.
Referenties
- Fernández J. Het getal e. Oorsprong en curiosa. Hersteld van: soymatematicas.com
- Geniet van wiskunde. Euler's nummer. Hersteld van: enjoylasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. Wiskunde 1e. Gediversifieerd. CO-BO edities.
- García, M. Het getal e in elementaire calculus. Hersteld van: matematica.ciens.ucv.ve.
- Wikipedia. PI-nummer. Hersteld van: wikipedia.com
- Wikipedia. Transcendente nummers. Hersteld van: wikipedia.com