RATIONALE GETALLEN: EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN EN BEWERKINGEN - WISKUNDE - 2026

De rationale getallen zijn alle getallen die kunnen worden verkregen als de deling van twee gehele getallen. Voorbeelden van rationale getallen zijn: 3/4, 8/5, -16/3 en degene die in de volgende afbeelding voorkomen. In een rationaal getal wordt het quotiënt aangegeven, dat indien nodig later kan worden gedaan.

De figuur vertegenwoordigt elk object, rond voor meer comfort. Als we het in 2 gelijke delen willen verdelen, zoals rechts, hebben we twee helften over en elk is 1/2 waard.

Figuur 1. Rationale getallen worden gebruikt om het geheel in verschillende delen te verdelen. Bron: Freesvg.

Door het in 4 gelijke delen te verdelen, krijgen we 4 stukjes en elk is 1/4 waard, zoals in de afbeelding in het midden. En als het in 6 gelijke delen moet worden verdeeld, zou elk deel 1/6 waard zijn, wat we in de afbeelding links zien.

We kunnen het natuurlijk ook in twee ongelijke delen verdelen, we kunnen bijvoorbeeld 3/4 delen behouden en 1/4 deel opslaan. Andere indelingen zijn ook mogelijk, zoals 4/6 delen en 2/6 delen. Het belangrijkste is dat de som van alle delen 1 is.

Op deze manier is het duidelijk dat je met rationale getallen zaken als voedsel, geld, land en allerlei voorwerpen in fracties kunt verdelen, tellen en verdelen. En zo wordt het aantal bewerkingen dat met getallen kan worden uitgevoerd, uitgebreid.

Rationale getallen kunnen ook in decimale vorm worden uitgedrukt, zoals te zien is in de volgende voorbeelden:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Later zullen we met voorbeelden aangeven hoe je van het ene formulier naar het andere gaat.

Eigenschappen van rationale getallen

Rationale getallen, waarvan we de reeks aanduiden met de letter Q, hebben de volgende eigenschappen:

-Q omvat natuurlijke getallen N en gehele getallen Z.

Rekening houdend met het feit dat elk getal a kan worden uitgedrukt als het quotiënt tussen zichzelf en 1, is het gemakkelijk in te zien dat er onder de rationale getallen ook natuurlijke getallen en gehele getallen zijn.

Het natuurlijke getal 3 kan dus als een breuk worden geschreven, en ook -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Op deze manier is Q een numerieke set die een groter aantal getallen bevat, iets wat zeer noodzakelijk is, aangezien de "ronde" getallen niet voldoende zijn om alle mogelijke bewerkingen te beschrijven.

-Rationale getallen kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld, het resultaat van de bewerking is een rationaal getal: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Tussen elk paar rationale getallen kan altijd een ander rationaal getal worden gevonden. In feite zijn er tussen twee rationale getallen oneindige rationale getallen.

Tussen de rationale getallen 1/4 en 1/2 bevinden zich bijvoorbeeld de rationale getallen 3/10, 7/20, 2/5 (en nog veel meer), die kunnen worden geverifieerd door ze uit te drukken als decimalen.

-Elk rationaal getal kan worden uitgedrukt als: i) een geheel getal of ii) een beperkt (strikt) of periodiek decimaal getal: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Eenzelfde getal kan worden weergegeven door oneindige equivalente breuken en ze behoren allemaal tot Q. Laten we deze groep eens bekijken:

Ze vertegenwoordigen allemaal de decimale 0.428571 …

-Van alle equivalente breuken die hetzelfde getal vertegenwoordigen, is de onherleidbare breuk, de eenvoudigste van allemaal, de canonieke vertegenwoordiger van dat getal. De canonieke vertegenwoordiger van het bovenstaande voorbeeld is 3/7.

Figuur 2. - De verzameling Q van de rationale getallen. Bron: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Voorbeelden van rationale getallen

- Juiste breuken, die waarin de teller kleiner is dan de noemer:

-Onjuiste breuken, waarvan de teller groter is dan de noemer:

-Natuurlijke cijfers en hele getallen:

-Gelijkwaardige breuken:

Decimale weergave van een rationaal getal

Wanneer de teller wordt gedeeld door de noemer, wordt de decimale vorm van het rationale getal gevonden. Bijvoorbeeld:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111 …

6/11 = 0,545454…

In de eerste twee voorbeelden is het aantal decimalen beperkt. Dit betekent dat wanneer de deling is voltooid, uiteindelijk een rest van 0 wordt verkregen.

Aan de andere kant is in de volgende twee het aantal decimalen oneindig en daarom zijn de ellips geplaatst. In het laatste geval zit er een patroon in de decimalen. In het geval van de breuk 1/9 wordt het getal 1 oneindig herhaald, terwijl het in 6/11 54 is.

Wanneer dit gebeurt, wordt gezegd dat het decimaal periodiek is en wordt aangegeven met een caret als volgt:

Transformeer een decimaal naar een breuk

Als het een beperkt decimaal getal is, wordt de komma eenvoudig weggelaten en wordt de noemer de eenheid gevolgd door zoveel nullen als er cijfers in het decimaalteken staan. Om bijvoorbeeld het decimaal 1,26 in een breuk te veranderen, schrijft u het als volgt:

1,26 = 126/100

Vervolgens wordt de resulterende breuk maximaal vereenvoudigd:

126/100 = 63/50

Als het decimaalteken onbeperkt is, wordt de punt eerst geïdentificeerd. Vervolgens worden deze stappen gevolgd om de resulterende breuk te vinden:

-De teller is de aftrekking tussen het getal (zonder komma of caret) en het deel dat geen caret heeft.

-De noemer is een geheel getal met zoveel 9 als er cijfers onder de circumflex staan, en evenveel 0 als er cijfers in het decimale deel zijn die niet onder de circumflex staan.

Laten we deze procedure volgen om het decimale getal 0.428428428… om te zetten in een breuk.

-Eerst wordt de periode geïdentificeerd, dat is de reeks die wordt herhaald: 428.

-Vervolgens wordt het getal zonder komma of accent afgetrokken: 0428 van het deel dat geen circumflex heeft, dat is 0. Het is dus 428 - 0 = 428.

-De noemer is geconstrueerd, wetende dat er onder de circumflex 3 cijfers zijn en die allemaal onder de circumflex. De noemer is dus 999.

- Eindelijk wordt de breuk gevormd en indien mogelijk vereenvoudigd:

0,428 = 428/999

Meer vereenvoudigen is niet mogelijk.

Bewerkingen met rationale getallen

- Optellen en aftrekken

Breuken met dezelfde noemer

Als de breuken dezelfde noemer hebben, is het heel eenvoudig om ze op te tellen en / of af te trekken, omdat de tellers eenvoudig algebraïsch worden opgeteld, waardoor hetzelfde als de toevoegingen de noemer van het resultaat blijft. Ten slotte wordt het, indien mogelijk, vereenvoudigd.

Voorbeeld

Voer de volgende algebraïsche optelling uit en vereenvoudig het resultaat:

De resulterende fractie is al onherleidbaar.

Breuken met verschillende noemers

In dit geval worden de addends vervangen door equivalente breuken met dezelfde noemer en wordt de reeds beschreven procedure gevolgd.

Voorbeeld

Voeg algebraïsch de volgende rationale getallen toe, om het resultaat te vereenvoudigen:

De stappen zijn:

-Bepaal het kleinste gemene veelvoud (lcm) van de noemers 5, 8 en 3:

lcm (5,8,3) = 120

Dit wordt de noemer van de resulterende breuk zonder vereenvoudiging.

-Voor elke breuk: deel de LCM door de noemer en vermenigvuldig met de teller. Het resultaat van deze bewerking wordt met het bijbehorende teken in de teller van de breuk geplaatst. Op deze manier wordt een fractie verkregen die equivalent is aan het origineel, maar met de LCM als noemer.

Voor de eerste breuk is de teller bijvoorbeeld als volgt opgebouwd: (120/5) x 4 = 96 en we krijgen:

Ga op dezelfde manier te werk voor de overige breuken:

Ten slotte worden de equivalente breuken vervangen zonder hun teken te vergeten en wordt de algebraïsche som van de tellers uitgevoerd:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Vermenigvuldiging en deling

Vermenigvuldigen en delen gebeurt volgens de onderstaande regels:

Figuur 3. Regels voor het vermenigvuldigen en delen van rationale getallen. Bron: F. Zapata.

In elk geval is het belangrijk om te onthouden dat vermenigvuldiging commutatief is, wat betekent dat de volgorde van de factoren het product niet verandert. Dit gebeurt niet bij deling, dus er moet op worden gelet dat de volgorde tussen dividend en deler wordt gerespecteerd.

voorbeeld 1

Voer de volgende bewerkingen uit en vereenvoudig het resultaat:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Antwoord op

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Antwoord b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Voorbeeld 2

Luisa had $ 45. Hij gaf er een tiende van uit aan het kopen van een boek en 2/5 van wat er nog op een T-shirt stond. Hoeveel geld heeft Luisa nog? Druk het resultaat uit als een onherleidbare fractie.

Oplossing

Het boek kost (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Daarom bleef Luisa achter met:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Met dat geld ging Luisa naar de kledingwinkel en kocht het hemd, waarvan de prijs:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Nu heeft Luisa in haar portefeuille:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Om het als een breuk uit te drukken, wordt het als volgt geschreven:

24,3 = 243/10

Dat is onherleidbaar.

Referenties

1. Baldor, A. 1986. Arithmetic. Edities en distributies Codex.
2. Carena, M. 2019. Handboek voor wiskunde. Nationale Universiteit van de Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. De rationale getallen. Hersteld van: Cimanet.uoc.edu.
6. Rationele nummers. Hersteld van: webdelprofesor.ula.ve.