IRRATIONELE GETALLEN: GESCHIEDENIS, EIGENSCHAPPEN, CLASSIFICATIE, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De irrationele getallen zijn getallen waarvan de uitdrukking oneindige decimale cijfers heeft zonder een zich herhalend patroon, en kunnen daarom niet worden verkregen uit de verhouding tussen twee willekeurige gehele getallen.

Een van de bekendste irrationele getallen zijn:

Figuur 1. Van boven naar beneden de volgende irrationele getallen: pi, Euler's getal, de gulden snede en twee vierkantswortels. Bron: Pixabay.

Onder hen is π (pi) ongetwijfeld de meest bekende, maar er zijn er nog veel meer. Ze behoren allemaal tot de reeks reële getallen, de numerieke reeks die rationele en irrationele getallen groepeert.

De ellips in figuur 1 geeft aan dat de decimalen oneindig doorlopen, wat er gebeurt is dat de ruimte van gewone rekenmachines slechts enkele laat zien.

Als we goed kijken, krijgen we telkens als we het quotiënt tussen twee gehele getallen maken een decimaal met beperkte cijfers of, zo niet, met oneindige cijfers waarin een of meer worden herhaald. Nou, dit gebeurt niet met irrationele getallen.

Geschiedenis van irrationele getallen

De grote oude wiskundige Pythagoras, geboren in 582 v.Chr. In Samos, Griekenland, stichtte de Pythagorische school van denken en ontdekte de beroemde stelling die zijn naam draagt. We hebben het hier aan de linkerkant (de Babyloniërs wisten het misschien al lang eerder).

Figuur 2. De stelling van Pythagoras toegepast op een driehoek met zijden gelijk aan 1. Bron: Pixabay / Wikimedia Commons.

Welnu, toen Pythagoras (of waarschijnlijk een discipel van hem) de stelling toepaste op een rechthoekige driehoek met zijden gelijk aan 1, vond hij het irrationele getal √2.

Hij deed het op deze manier:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

En hij realiseerde zich onmiddellijk dat dit nieuwe getal niet afkomstig was van het quotiënt tussen twee andere natuurlijke getallen, die op dat moment bekend waren.

Hij noemde het daarom irrationeel, en de ontdekking veroorzaakte grote angst en verbijstering onder de Pythagoreërs.

Eigenschappen van irrationele getallen

-De verzameling van alle irrationele getallen wordt aangeduid met de letter I en soms als Q * of Q ^C . De vereniging tussen de irrationele getallen I of Q * en de rationale getallen Q, geeft aanleiding tot de verzameling reële getallen R.

-Met irrationele getallen kunnen de bekende rekenkundige bewerkingen worden uitgevoerd: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, empowerment en meer.

-De deling door 0 is ook niet gedefinieerd tussen irrationele getallen.

-De som en het product tussen irrationele getallen is niet noodzakelijk een ander irrationeel getal. Bijvoorbeeld:

√2 x √8 = √16 = 4

En 4 is geen irrationeel getal.

-De som van een rationaal getal plus een irrationeel getal geeft echter wel een irrationeel resultaat. Op deze manier:

1 + √2 = 2,41421356237…

-Het product van een rationaal getal dat verschilt van 0 door een irrationeel getal, is ook irrationeel. Laten we naar dit voorbeeld kijken:

2 x √2 = 2.828427125…

-De inverse van een irrationeel getal resulteert in een ander irrationeel getal. Laten we wat proberen:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Deze getallen zijn interessant omdat ze ook de waarden zijn van enkele trigonometrische verhoudingen van bekende hoeken. De meeste trigonometrische verhoudingen zijn irrationele getallen, maar er zijn uitzonderingen, zoals sin 30º = 0,5 = ½, wat rationeel is.

-In totaal is aan de commutatieve en associatieve eigenschappen voldaan. Als a en b twee irrationele getallen zijn, betekent dit dat:

a + b = b + a.

En als c een ander irrationeel getal is, dan:

(a + b) + c = a + (b + c).

-De distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen is een andere bekende eigenschap die ook geldt voor irrationele getallen. In dit geval:

een. (b + c) = ab + ac

-Een irrationele a heeft zijn tegendeel: -a. Als ze bij elkaar worden opgeteld, is het resultaat 0:

een + (- a) = 0

-Tussen twee verschillende rationale getallen is er minstens één irrationeel getal.

Locatie van een irrationeel getal op de echte lijn

De reële lijn is een horizontale lijn waar de reële getallen op staan, waarvan de irrationele getallen een belangrijk onderdeel zijn.

Om een ​​irrationeel getal op de reële lijn te vinden, in geometrische vorm, kunnen we de stelling van Pythagoras, een liniaal en een kompas gebruiken.

Als voorbeeld gaan we √5 op de reële lijn lokaliseren, waarvoor we een rechthoekige driehoek tekenen met zijden x = 2 en y = 1, zoals weergegeven in de figuur:

Figuur 3. Methode om een ​​irrationeel getal op de echte lijn te lokaliseren. Bron: F. Zapata.

Volgens de stelling van Pythagoras is de hypotenusa van zo'n driehoek:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Nu wordt het kompas geplaatst met het punt op 0, waar ook een van de hoekpunten van de rechthoekige driehoek is. De punt van het kompaspotlood moet zich op hoekpunt A bevinden.

Er wordt een omtrekboog getekend die tot de echte lijn snijdt. Omdat de afstand tussen het middelpunt van de omtrek en een willekeurig punt erop de straal is, die gelijk is aan √5, is het snijpunt ook ver √5 van het middelpunt verwijderd.

Uit de grafiek blijkt dat √5 tussen 2 en 2,5 ligt. Een rekenmachine geeft ons de geschatte waarde van:

√5 = 2.236068

En dus, door een driehoek te bouwen met de juiste zijden, kunnen andere irrationele worden gelokaliseerd, zoals √7 en andere.

Classificatie van irrationele getallen

Irrationele getallen worden in twee groepen ingedeeld:

-Algebraïsch

-Transcendentaal of transcendentaal

Algebraïsche getallen

Algebraïsche getallen, die al dan niet irrationeel zijn, zijn oplossingen van polynoomvergelijkingen waarvan de algemene vorm is:

een _n x ⁿ + een _n-1 x ^n-1 + een _n-2 x ^n-2 +…. + een ₁ x + een _o = 0

Een voorbeeld van een polynoomvergelijking is een kwadratische vergelijking zoals deze:

x ³ - 2x = 0

Het is gemakkelijk aan te tonen dat het irrationele getal √2 een van de oplossingen van deze vergelijking is.

Transcendente nummers

Aan de andere kant ontstaan ​​de transcendente getallen, hoewel ze irrationeel zijn, nooit als een oplossing voor een polynoomvergelijking.

De transcendente getallen die het meest voorkomen in de toegepaste wiskunde zijn π, vanwege de relatie tot de omtrek en het getal e, of het getal van Euler, dat de basis is van natuurlijke logaritmen.

Oefening

Een grijs vierkant wordt op een zwart vierkant geplaatst op de in de figuur aangegeven positie. Het is bekend dat de oppervlakte van het zwarte vierkant 64 cm ^{2 is} . Hoeveel zijn de lengtes van beide vierkanten?

Figuur 4. Twee vierkanten, waarvan we de lengte van de zijkanten willen vinden. Bron: F. Zapata.

Antwoord

De oppervlakte van een vierkant met zijde L is:

A = L ²

Omdat het zwarte vierkant 64 cm ² groot is, moet de zijkant 8 cm zijn.

Deze maat is hetzelfde als de diagonaal van het grijze vierkant. Als we de stelling van Pythagoras op deze diagonaal toepassen, en bedenkend dat de zijden van een vierkant hetzelfde zijn, hebben we:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Waar L _g de zijde van het grijze vierkant is.

Daarom: 2L _g ² = 8 ²

Vierkantswortel toepassen op beide zijden van de gelijkheid:

L _g = (8 / √2) cm

Referenties

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Nationale Universiteit van de Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Wiskunde 9e. Mate. CO-BO edities.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Educatieve portal. Irrationele getallen en hun eigenschappen. Hersteld van: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irrationele nummers. Hersteld van: es.wikipedia.org.