- Eigendommen
- Denkbeeldig optellen en aftrekken
- Product van imaginair
- Product van een reëel getal door een ander denkbeeldig
- Empowerment van een denkbeeldig
- Som van een reëel getal en een imaginair getal
- Toepassingen
- Oefeningen met denkbeeldige getallen
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing
- - Oefening 3
- Oplossing
- - Oefening 4
- Oplossing
- - Oefening 5
- Oplossing
- - Oefening 6
- Oplossing
- Referenties
De imaginaire getallen zijn die die de vergelijking oplossen waarin het onbekende, verheven tot het kwadraat, gelijk is aan een negatief reëel getal. De imaginaire eenheid is i = √ (-1).
In de vergelijking: z 2 = - a, z is een denkbeeldig getal dat als volgt wordt uitgedrukt:
z = √ (-a) = i√ (a)
Een positief reëel getal zijn. Als a = 1, dan is z = i, waarbij i de imaginaire eenheid is.
Figuur 1. Complex vlak met enkele reële getallen, enkele imaginaire getallen en enkele complexe getallen. Bron: F. Zapata.
Over het algemeen wordt een puur denkbeeldig getal z altijd uitgedrukt in de vorm:
z = y⋅i
Waar y een reëel getal is en i de imaginaire eenheid.
Net zoals reële getallen worden weergegeven op een lijn, de reële lijn genoemd, worden op dezelfde manier imaginaire getallen weergegeven op de denkbeeldige lijn.
De denkbeeldige lijn is altijd orthogonaal (90º-vorm) op de reële lijn en de twee lijnen definiëren een cartesisch vlak dat het complexe vlak wordt genoemd.
In figuur 1 is het complexe vlak weergegeven en daarop staan enkele reële getallen, enkele imaginaire getallen en ook enkele complexe getallen:
X 1 , X 2 , X 3 zijn reële getallen
Y 1 , Y 2 , Y 3 zijn denkbeeldige getallen
Z 2 en Z 3 zijn complexe getallen
Het getal O is de echte nul en het is ook de denkbeeldige nul, dus de oorsprong O is de complexe nul uitgedrukt door:
0 + 0i
Eigendommen
De verzameling imaginaire getallen wordt aangeduid met:
I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}
En u kunt enkele bewerkingen op deze numerieke set definiëren. Een denkbeeldig getal wordt niet altijd verkregen uit deze bewerkingen, dus laten we ze wat gedetailleerder bekijken:
Denkbeeldig optellen en aftrekken
Denkbeeldige getallen kunnen van elkaar worden opgeteld en afgetrokken, wat resulteert in een nieuw denkbeeldig getal. Bijvoorbeeld:
3i + 2i = 5i
4i - 7i = -3i
Product van imaginair
Wanneer het product van het ene imaginaire getal met het andere wordt gemaakt, is het resultaat een reëel getal. Laten we de volgende bewerking uitvoeren om het te controleren:
2i x 3i = 6 xi 2 = 6 x (√ (-1)) 2 = 6 x (-1) = -6.
En zoals we kunnen zien, is -6 een reëel getal, hoewel het is verkregen door twee puur denkbeeldige getallen te vermenigvuldigen.
Product van een reëel getal door een ander denkbeeldig
Als een reëel getal wordt vermenigvuldigd met i, is het resultaat een denkbeeldig getal, dat overeenkomt met een rotatie van 90 graden tegen de klok in.
En het is dat i 2 overeenkomt met twee opeenvolgende rotaties van 90 graden, wat overeenkomt met vermenigvuldigen met -1, dat wil zeggen, i 2 = -1. Het is te zien in het volgende diagram:
Figuur 2. De vermenigvuldiging met de denkbeeldige eenheid i komt overeen met 90º rotaties tegen de klok in. Bron: Wikimedia Commons.
Bijvoorbeeld:
-3 x 5i = -15i
-3 xi = -3i.
Empowerment van een denkbeeldig
U kunt de potentiëring van een denkbeeldig getal definiëren tot een integer exponent:
ik 1 = ik
ik 2 = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1
ik 3 = ixi 2 = -i
ik 4 = ik 2 xi 2 = -1 x -1 = 1
ik 5 = ixi 4 = ik
Over het algemeen hebben we dat i n = i ^ (n mod 4), waarbij mod de rest is van de deling tussen n en 4.
Negatieve integer-potentiëring kan ook worden gedaan:
ik -1 = 1 / ik 1 = ik / (ixi 1 ) = ik / (ik 2 ) = ik / (-1) = -i
ik- 2 = 1 / ik 2 = 1 / (-1) = -1
ik- 3 = 1 / ik 3 = 1 / (- ik) = (-1) / ik = -1 xi -1 = (-1) x (-i) = ik
In het algemeen is het denkbeeldige getal b⋅i verheven tot de macht n:
(b⋅i) ik n = b n ik n = b n ik ^ (n mod 4)
Enkele voorbeelden zijn de volgende:
(5 ik) 12 = 5 12 ik 12 = 5 12 ik 0 = 5 12 x 1 = 244140625
(5 ik) 11 = 5 11 ik 11 = 5 11 ik 3 = 5 11 x (-i) = -48828125 ik
(-2 ik) 10 = -2 10 ik 10 = 2 10 ik 2 = 1024 x (-1) = -1024
Som van een reëel getal en een imaginair getal
Wanneer u een reëel getal toevoegt aan een imaginair getal, is het resultaat niet reëel of imaginair, het is een nieuw type getal dat een complex getal wordt genoemd.
Als X = 3,5 en Y = 3,75i bijvoorbeeld, is het resultaat het complexe getal:
Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i
Merk op dat in de som de reële en imaginaire delen niet samen kunnen worden gegroepeerd, dus een complex getal zal altijd een reëel deel en een imaginair deel hebben.
Deze bewerking breidt de reeks reële getallen uit tot de breedste complexe getallen.
Toepassingen
De naam van denkbeeldige getallen werd door de Franse wiskundige René Descartes (1596-1650) voorgesteld als een aanfluiting of als een onenigheid met het voorstel van hetzelfde van de Italiaanse wiskundige van de eeuw Raffaelle Bombelli.
Andere grote wiskundigen, zoals Euler en Leibniz, steunden Descartes in dit meningsverschil en noemden denkbeeldige getallen amfibische getallen, die werden verscheurd tussen zijn en niets.
De naam van denkbeeldige getallen blijft vandaag bestaan, maar hun bestaan en belang is zeer reëel en voelbaar, aangezien ze van nature op veel natuurkundige gebieden voorkomen, zoals:
-De relativiteitstheorie.
-In elektromagnetisme.
-Kwantummechanica.
Oefeningen met denkbeeldige getallen
- Oefening 1
Zoek de oplossingen van de volgende vergelijking:
z 2 + 16 = 0
Oplossing
z 2 = -16
Met vierkantswortel in beide leden hebben we:
√ (z 2 ) = √ (-16)
± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i
Met andere woorden, de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking zijn:
z = + 4i oz = -4i.
- Oefening 2
Zoek het resultaat van het verhogen van de imaginaire eenheid tot de macht 5 minus de aftrekking van de imaginaire eenheid verheven tot de macht -5.
Oplossing
ik 5 - ik- 5 = ik 5 - 1 / ik 5 = ik - 1 / ik = ik - (ik) / (ixi) = ik - ik / (- 1) = ik + ik = 2i
- Oefening 3
Zoek het resultaat van de volgende bewerking:
(3i) 3 + 9i
Oplossing
3 3 i 3 - 9 = 9 (-i) + = -9i 9i + 9i = 0i
- Oefening 4
Vind de oplossingen van de volgende kwadratische vergelijking:
(-2x) 2 + 2 = 0
Oplossing
De vergelijking wordt als volgt herschikt:
(-2x) 2 = -2
Vervolgens wordt de vierkantswortel van beide leden genomen
√ ((- 2x) 2 ) = √ (-2)
± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 ik
Dan lossen we x op om uiteindelijk te krijgen:
x = ± √2 / 2 ik
Dat wil zeggen, er zijn twee mogelijke oplossingen:
x = (√2 / 2) ik
Of deze andere:
x = - (√2 / 2) ik
- Oefening 5
Zoek de waarde van Z gedefinieerd door:
Z = √ (-9) √ (-4) + 7
Oplossing
We weten dat de vierkantswortel van een negatief reëel getal een imaginair getal is, bijvoorbeeld √ (-9) is gelijk aan √ (9) x √ (-1) = 3i.
Aan de andere kant is √ (-4) gelijk aan √ (4) x √ (-1) = 2i.
Dus de oorspronkelijke vergelijking kan worden vervangen door:
3i x 2i - 7 = 6 ik 2 - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13
- Oefening 6
Zoek de waarde van Z die het resultaat is van de volgende verdeling van twee complexe getallen:
Z = (9 - ik 2 ) / (3 + ik)
Oplossing
De teller van de uitdrukking kan worden verwerkt met behulp van de volgende eigenschap:
Zo:
Z = / (3 + ik)
De resulterende uitdrukking wordt hieronder vereenvoudigd, weglatend
Z = (3 - ik)
Referenties
- Earl, R. Complexe getallen. Hersteld van: maths.ox.ac.uk.
- Figuera, J. 2000. Wiskunde 1e. Gediversifieerd. CO-BO edities.
- Hoffmann, J. 2005. Selectie van wiskundeonderwerpen. Monfort Publications.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikipedia. Denkbeeldig getal. Hersteld van: en.wikipedia.org