- Eigenschappen van complexe getallen
- Vertegenwoordiging van complexe getallen
- - Binominale vorm
- - Polaire vorm
- Voorbeelden van complexe getallen
- Waar zijn ze voor?
- Complexe nummerbewerkingen
- - Voorbeeld 1
- Oplossing
- - Voorbeeld 2
- Oplossing
- Toepassing
- Referenties
De complexe getallen zijn de numerieke reeks die reële getallen omvat en alle wortels van de polynomen inclusief paren wortels van negatieve getallen. Deze wortels bestaan niet in de reeks reële getallen, maar in complexe getallen is er de oplossing.
Een complex getal bestaat uit een reëel deel en een deel dat "imaginair" wordt genoemd. Het reële deel wordt bijvoorbeeld a genoemd en het imaginaire deel ib, met a en b reële getallen en "i" als de imaginaire eenheid. Op deze manier neemt het complexe getal de vorm aan:
Figuur 1. - Binominale weergave van een complex getal in termen van reëel deel en imaginair deel. Bron: Pixabay.
Voorbeelden van complexe getallen zijn 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Maar laten we, voordat we ermee werken, kijken waar de denkbeeldige eenheid i vandaan komt, rekening houdend met deze kwadratische vergelijking:
x 2 - 10x + 34 = 0
Waarin a = 1, b = -10 en c = 34.
Bij het toepassen van de oplossingsformule om de oplossing te bepalen, vinden we het volgende:
Hoe bepaal je de waarde van √-36? Er is geen reëel getal dat in het kwadraat een negatieve hoeveelheid oplevert. Vervolgens wordt geconcludeerd dat deze vergelijking geen echte oplossingen heeft.
We kunnen dit echter schrijven:
√-36 = √-6 2 = √6 2 (-1) = 6√-1
Als we een bepaalde waarde x zo definiëren dat:
x 2 = -1
Zo:
x = ± √-1
En de bovenstaande vergelijking zou een oplossing hebben. Daarom werd de denkbeeldige eenheid gedefinieerd als:
ik = √-1
En dus:
√-36 = 6i
Veel wiskundigen uit de oudheid werkten aan het oplossen van soortgelijke problemen, met name de Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) en Raffaele Bombelli (1526-1572).
Jaren later noemde René Descartes (1596-1650) de grootheden 'denkbeeldig' zoals √-36 in het voorbeeld. Om deze reden staat √-1 bekend als de denkbeeldige eenheid.
Eigenschappen van complexe getallen
-De reeks complexe getallen wordt aangeduid als C en omvat de reële getallen R en de imaginaire getallen Im. De nummersets worden weergegeven in een Venn-diagram, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:
Figuur 2. Venn-diagram van getallenreeksen. Bron: F. Zapata.
-Alle complexe getallen bestaan uit een reëel deel en een imaginair deel.
-Als het imaginaire deel van een complex getal 0 is, is het een puur reëel getal.
-Als het reële deel van een complex getal 0 is, is het getal puur denkbeeldig.
-Twee complexe getallen zijn gelijk als hun respectievelijke reële deel en imaginaire deel hetzelfde zijn.
-Bij complexe getallen worden de bekende bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, product en verbetering uitgevoerd, wat resulteert in een ander complex getal.
Vertegenwoordiging van complexe getallen
Complexe getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven. Dit zijn de belangrijkste:
- Binominale vorm
Het is de vorm die aan het begin wordt gegeven, waarbij z het complexe getal is, a het reële deel, b het imaginaire deel en i de imaginaire eenheid:
Of ook:
Een manier om het complexe getal te plotten, is via het complexe vlak dat in deze afbeelding wordt weergegeven. De denkbeeldige as Im is verticaal, terwijl de reële as horizontaal is en wordt aangeduid als Re.
Het complexe getal z wordt in dit vlak weergegeven als een coördinatenpunt (x, y) of (a, b), zoals het wordt gedaan met de punten van het reële vlak.
De afstand van de oorsprong tot het punt z is de modulus van het complexe getal, aangeduid als r, terwijl φ de hoek is die r maakt met de reële as.
Figuur 3. Weergave van een complex getal in het complexe vlak. Bron: Wikimedia Commons.
Deze weergave is nauw verwant aan die van vectoren in het reële vlak. De waarde van r komt overeen met de modulus van het complexe getal.
- Polaire vorm
De polaire vorm bestaat uit het uitdrukken van het complexe getal door de waarden van r en van φ te geven. Als we naar de figuur kijken, komt de waarde van r overeen met de hypotenusa van een rechthoekige driehoek. De benen zijn a en b waard, of x en y.
Van de binominale of binominale vorm kunnen we naar de polaire vorm gaan door:
De hoek φ is die gevormd door het segment r met de horizontale as of denkbeeldige as. Het staat bekend als het complexe getalargument. Op deze manier:
Het argument heeft oneindige waarden, rekening houdend met het feit dat elke keer dat een draai wordt gedraaid, die 2π radialen waard is, r weer dezelfde positie inneemt. Op deze algemene manier wordt het argument van z, aangeduid met Arg (z), als volgt uitgedrukt:
Waar k een geheel getal is en wordt gebruikt om het aantal beurten aan te geven: 2, 3, 4…. Het bord geeft de draairichting aan, of het met de klok mee of tegen de klok in is.
Figuur 4. Polaire weergave van een complex getal in het complexe vlak. Bron: Wikimedia Commons.
En als we van de polaire vorm naar de binominale vorm willen gaan, gebruiken we de trigonometrische verhoudingen. Uit de vorige figuur kunnen we zien dat:
x = r cos φ
y = r zonde φ
Op deze manier z = r (cos φ + i sin φ)
Dat wordt als volgt afgekort:
z = r cis φ
Voorbeelden van complexe getallen
De volgende complexe getallen worden in binominale vorm gegeven:
een) 3 + i
b) 4
d) -6i
En deze in de vorm van een geordend paar:
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7,0)
Ten slotte wordt deze groep in polaire of trigonometrische vorm gegeven:
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315 °
Waar zijn ze voor?
Het nut van complexe getallen gaat verder dan het oplossen van de kwadratische vergelijking die aan het begin wordt getoond, aangezien ze essentieel zijn op het gebied van engineering en natuurkunde, vooral in:
-De studie van elektromagnetische golven
-Analyse van wisselstroom en spanning
-Het modelleren van allerlei soorten signalen
-Relativiteitstheorie, waarbij de tijd wordt aangenomen als een denkbeeldige omvang.
Complexe nummerbewerkingen
Met complexe getallen kunnen we alle bewerkingen uitvoeren die met echte worden gedaan. Sommige zijn gemakkelijker te doen als de getallen in binominale vorm komen, zoals optellen en aftrekken. Daarentegen zijn vermenigvuldigen en delen eenvoudiger als ze worden uitgevoerd met de polaire vorm.
Laten we een paar voorbeelden bekijken:
- Voorbeeld 1
Voeg z 1 = 2 + 5i en z 2 = -3 -8i toe
Oplossing
De echte delen worden los van de imaginaire delen toegevoegd:
z 1 + z 2 = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i
- Voorbeeld 2
Vermenigvuldig z 1 = 4 cis 45º en z 2 = 5 cis 120º
Oplossing
Aangetoond kan worden dat het product van twee complexe getallen in polaire of trigonometrische vorm wordt gegeven door:
z 1 . z 2 = r 1 .r 2 cis (φ 1 + φ 2 )
Volgens dit:
z 1 . z 2 = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
Toepassing
Een eenvoudige toepassing van complexe getallen is om alle wortels van een polynoomvergelijking te vinden, zoals die aan het begin van het artikel.
In het geval van de vergelijking x 2 - 10x + 34 = 0, krijgen we door de oplossende formule toe te passen:
Daarom zijn de oplossingen:
x 1 = 5 + 3i
x 2 = 5 - 3i
Referenties
- Earl, R. Complexe getallen. Hersteld van: maths.ox.ac.uk.
- Figuera, J. 2000. Wiskunde 1e. Gediversifieerd. CO-BO edities.
- Hoffmann, J. 2005. Selectie van wiskundeonderwerpen. Monfort Publications.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikipedia. Complexe getallen. Hersteld van: en.wikipedia.org