EULERNUMMER OF E-NUMMER: HOEVEEL IS HET WAARD, EIGENSCHAPPEN, AANVRAGEN - WISKUNDE - 2026

Het Euler-getal of getal e is een bekende wiskundige constante die vaak voorkomt in tal van wetenschappelijke en economische toepassingen, samen met het getal π en andere belangrijke getallen in de wiskunde.

Een wetenschappelijke rekenmachine retourneert de volgende waarde voor het getal e:

Figuur 1. Euler's nummer komt regelmatig voor in Science. Bron: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Maar er zijn nog veel meer decimalen bekend, bijvoorbeeld:

e = 2.71828182845904523536…

En moderne computers hebben biljoenen decimalen gevonden voor het getal e.

Het is een irrationeel getal, wat betekent dat het een oneindig aantal decimalen heeft zonder herhalend patroon (de reeks 1828 komt twee keer voor aan het begin en wordt niet langer herhaald).

En het betekent ook dat het getal e niet kan worden verkregen als het quotiënt van twee hele getallen.

Geschiedenis

Het getal e werd geïdentificeerd door de wetenschapper Jacques Bernoulli in 1683 toen hij het probleem van samengestelde rente bestudeerde, maar eerder was het indirect verschenen in de werken van de Schotse wiskundige John Napier, die rond 1618 logaritmen bedacht.

Het was echter Leonhard Euler in 1727 die het de naam nummer e gaf en de eigenschappen ervan intensief bestudeerde. Dit is waarom het ook bekend staat als het Eulergetal en ook als een natuurlijke basis voor de natuurlijke logaritmen (een exponent) die momenteel worden gebruikt.

Hoeveel is het getal e waard?

Het getal e is de moeite waard:

e = 2.71828182845904523536…

Het weglatingsteken betekent dat er een oneindig aantal decimalen is en in feite, met de huidige computers, zijn er miljoenen bekend.

Vertegenwoordigingen van het nummer e

Er zijn verschillende manieren om e te definiëren die we hieronder beschrijven:

Het aantal e als limiet

Een van de verschillende manieren waarop het getal e wordt uitgedrukt, is degene die de wetenschapper Bernoulli vond in zijn werken over samengestelde rente:

Waarin je de waarde n een heel groot getal moet maken.

Het is gemakkelijk om met behulp van een rekenmachine te controleren dat wanneer n erg groot is, de vorige uitdrukking neigt naar de waarde van e hierboven gegeven.

Natuurlijk kunnen we ons afvragen hoe groot n gemaakt kan worden, dus laten we ronde getallen proberen, zoals bijvoorbeeld:

n = 1000; 10.000 of 100.000

In het eerste geval krijgen we e = 2,7169239…. In de tweede e = 2,7181459… en in de derde ligt het veel dichter bij de waarde van e: 2,7182682. We kunnen ons al voorstellen dat met n = 1.000.000 of groter de benadering nog beter zal zijn.

In wiskundige taal wordt de procedure om n steeds dichter bij een zeer grote waarde te laten komen, de limiet tot oneindig genoemd en wordt als volgt aangeduid:

Om oneindigheid aan te duiden wordt het symbool "∞" gebruikt.

Het getal e als som

Het is ook mogelijk om het nummer e te definiëren door middel van deze bewerking:

De cijfers die in de noemer verschijnen: 1, 2, 6, 24, 120 … komen overeen met de bewerking n!, Waarbij:

En per definitie 0! = 1.

Het is eenvoudig te controleren of hoe meer toevoegingen worden toegevoegd, hoe nauwkeuriger het nummer e wordt bereikt.

Laten we wat testen doen met de rekenmachine en steeds meer toevoegingen toevoegen:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Hoe meer termen er aan de som worden toegevoegd, hoe meer het resultaat lijkt op e.

Wiskundigen bedachten een compacte notatie voor deze sommen met veel termen, met behulp van het sommatiesymbool Σ:

Deze uitdrukking wordt als volgt gelezen "som van n = 0 tot oneindig van 1 tussen n faculteit".

Het getal e vanuit geometrisch oogpunt

Het getal e heeft een grafische weergave met betrekking tot het gebied onder de grafiek van de curve:

y = 1 / x

Als de waarden van x tussen 1 en e liggen, is dit gebied gelijk aan 1, zoals geïllustreerd in de volgende afbeelding:

Figuur 2. Grafische weergave van het getal e: het gebied onder de 1 / x-curve, tussen x = 1 en x = e, is 1 waard. Bron: F. Zapata.

Eigenschappen van het nummer e

Enkele van de eigenschappen van het getal e zijn:

-Het is irrationeel, met andere woorden, het kan niet worden verkregen door simpelweg twee gehele getallen te delen.

-Het getal e is ook een transcendent getal, wat betekent dat e geen oplossing is voor een polynoomvergelijking.

-Het is gerelateerd aan vier andere bekende getallen op het gebied van wiskunde, namelijk: π, i, 1 en 0, via de Euler-identiteit:

-De zogenaamde complexe getallen kunnen worden uitgedrukt door middel van e.

-Het vormt de basis van de natuurlijke of natuurlijke logaritmen van de huidige tijd (de oorspronkelijke definitie van John Napier verschilt een beetje).

-Het is het enige getal waarvan de natuurlijke logaritme gelijk is aan 1, dat wil zeggen:

Toepassingen

Statistieken

Het getal e komt zeer vaak voor op het gebied van waarschijnlijkheid en statistiek, en komt voor in verschillende verdelingen, zoals normaal of Gaussiaans, Poisson's en andere.

Engineering

In engineering komt het vaak voor, omdat de exponentiële functie y = e ^x bijvoorbeeld aanwezig is in mechanica en elektromagnetisme. Onder de vele toepassingen die we kunnen noemen:

-Een kabel of ketting die aan de uiteinden wordt vastgehouden, neemt de vorm aan van de curve die wordt gegeven door:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Een aanvankelijk ontladen condensator C, die in serie is geschakeld met een weerstand R en een spanningsbron V om op te laden, krijgt een bepaalde lading Q als functie van de tijd t gegeven door:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC} )

biologie

De exponentiële functie y = Ae ^Bx , met A en B constant, wordt gebruikt om celgroei en bacteriegroei te modelleren.

Fysiek

In de kernfysica worden radioactief verval en leeftijdsbepaling gemodelleerd door radiokoolstofdatering.

Economie

Bij de berekening van samengestelde rente komt het getal e van nature voor.

Stel dat u een bepaalde hoeveelheid geld P _o te investeren tegen een rente van i% per jaar.

Als u het geld 1 jaar laat staan, heeft u na die tijd:

Na nog een jaar zonder het aan te raken, heb je:

En zo blijven we n jaar lang:

Laten we nu een van de definities van e onthouden:

Het lijkt een beetje op de uitdrukking voor P, dus er moet een relatie zijn.

We gaan de nominale rente i verdelen over n periodes, op deze manier wordt de samengestelde rente i / n:

Deze uitdrukking lijkt een beetje meer op onze limiet, maar is nog steeds niet precies hetzelfde.

Na enkele algebraïsche manipulaties kan echter worden aangetoond dat door deze verandering van variabele aan te brengen:

Ons geld P wordt:

En wat er tussen de accolades staat, zelfs als het met de letter h is geschreven, is gelijk aan het argument van de limiet die het getal e definieert, waarbij alleen de limiet ontbreekt.

Laten we h → ∞ maken, en wat tussen de accolades staat wordt het getal e. Dit betekent niet dat we oneindig lang moeten wachten om ons geld op te nemen.

Als we goed kijken, door h = n / i te maken en naar ∞ te neigen, hebben we in feite de rente over heel, heel korte perioden gespreid:

ik = n / h

Dit wordt continu samenstellen genoemd. In zo'n geval kan het geldbedrag eenvoudig als volgt worden berekend:

Waar ik de jaarlijkse rentevoet is. Bijvoorbeeld, bij een storting van € 12 tegen 9% per jaar, door middel van doorlopende kapitalisatie, heeft u na één jaar:

Met een winst van € 1,13.

Referenties

1. Geniet van wiskunde. Samengestelde rente: periodieke samenstelling. Hersteld van: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Wiskunde 1e. Gediversifieerd. CO-BO edities.
3. García, M. Het getal e in elementaire calculus. Hersteld van: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Berekening van een variabele. 9e. Editie. McGraw Hill.