- Postulaten
- Dirac's vier postulaten
- Dirac's vergelijking
- Het Dirac-Jordan-atoom
- Relativistische correcties op het energiespectrum
- Artikelen van belang
- Referenties
Het atomaire model Dirac-Jordan is de relativistische generalisatie van de Hamiltoniaanse operator in de vergelijking die de kwantumgolffunctie van het elektron beschrijft. In tegenstelling tot het vorige model, dat van Schrodinger, is het niet nodig om de spin op te leggen door middel van het Pauli-uitsluitingsprincipe, omdat het natuurlijk lijkt.
Bovendien bevat het Dirac-Jordan-model relativistische correcties, de spin-baaninteractie en de Darwin-term, die de fijne structuur van de elektronische niveaus van het atoom verklaren.
Figuur 1. Elektronische orbitalen in het waterstofatoom voor de eerste drie energieniveaus. Bron: Wikimedia Commons.
Vanaf 1928 trachtten de wetenschappers Paul AM Dirac (1902-1984) en Pascual Jordan (1902-1980) de door Schrodinger ontwikkelde kwantummechanica te veralgemenen, met Einsteins speciale relativiteitscorrecties.
Dirac vertrekt van de Schrodinger-vergelijking, die bestaat uit een differentiaaloperator, de Hamiltoniaan genaamd, die werkt op een functie die bekend staat als de elektronengolffunctie. Schrodinger hield echter geen rekening met relativistische effecten.
Met de oplossingen van de golffunctie kunnen we de gebieden berekenen waar het elektron met een zekere mate van waarschijnlijkheid rond de kern zal worden gevonden. Deze gebieden of zones worden orbitalen genoemd en zijn afhankelijk van bepaalde discrete kwantumgetallen, die de energie en het impulsmoment van het elektron bepalen.
Postulaten
In kwantummechanische theorieën, of ze nu relativistisch zijn of niet, is er geen concept van banen, aangezien noch de positie, noch de snelheid van het elektron tegelijkertijd kan worden gespecificeerd. Bovendien leidt het specificeren van een van de variabelen tot totale onnauwkeurigheid in de andere.
De Hamiltoniaan van zijn kant is een wiskundige operator die inwerkt op de kwantumgolffunctie en is opgebouwd uit de energie van het elektron. Een vrij elektron heeft bijvoorbeeld de totale energie E die afhangt van zijn lineaire momentum p als volgt:
E = ( p 2 ) / 2m
Om de Hamiltonian bouwen, gaan we uit van deze uitdrukking en vervangende p voor de quantum operator voor momentum:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
Het is belangrijk op te merken dat de p- en p- termen verschillen, aangezien de eerste het momentum is en de andere de differentiaaloperator die bij het momentum hoort.
Bovendien is i de imaginaire eenheid en ħ de constante van Planck gedeeld door 2π, op deze manier wordt de Hamiltoniaanse operator H van het vrije elektron verkregen:
H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2
Om de Hamiltoniaan van het elektron in het atoom te vinden, tel je de interactie van het elektron met de kern op:
H = (ħ2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2 - eΦ (r)
In de vorige uitdrukking is -e de elektrische lading van het elektron en Φ (r) de elektrostatische potentiaal geproduceerd door de centrale kern.
Nu werkt de operator H op de golffunctie ψ volgens de Schrodinger-vergelijking, die als volgt is geschreven:
H ψ = (ik ħ ∂ / ∂t) ψ
Dirac's vier postulaten
Eerste postulaat : de relativistische golfvergelijking heeft dezelfde structuur als de Schrodinger-golfvergelijking, wat verandert is de H:
H ψ = (ik ħ ∂ / ∂t) ψ
Tweede postulaat : de Hamiltoniaanse operator wordt geconstrueerd vanuit Einsteins energie-impulsrelatie, die als volgt is geschreven:
E = (m 2 c 4 + p 2 c 2 ) 1/2
In de vorige relatie, als het deeltje momentum p = 0 heeft, hebben we de beroemde vergelijking E = mc 2 die de energie in rust van een deeltje met massa m relateert aan de lichtsnelheid c.
Derde postulaat : om de Hamiltoniaanse operator te verkrijgen, wordt dezelfde kwantiseringsregel gebruikt als in de Schrodinger-vergelijking:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
In het begin was het niet duidelijk hoe om te gaan met deze differentiaaloperator die handelde binnen een vierkantswortel, dus Dirac ging op zoek naar een lineaire Hamiltoniaanse operator op de momentumoperator en van daaruit ontstond zijn vierde postulaat.
Vierde postulaat : om de vierkantswortel in de relativistische energieformule kwijt te raken, stelde Dirac de volgende structuur voor E 2 voor :
Het is natuurlijk nodig om de alfa-coëfficiënten (α0, α1, α2, α3) te bepalen om dit waar te maken.
Dirac's vergelijking
In zijn compacte vorm wordt de Dirac-vergelijking beschouwd als een van de mooiste wiskundige vergelijkingen ter wereld:
Figuur 2. Dirac-vergelijking in compacte vorm. Bron: F. Zapata.
En dat is wanneer het duidelijk wordt dat de constante alfa's geen scalaire grootheden kunnen zijn. De enige manier waarop aan de gelijkheid van het vierde postulaat wordt voldaan, is dat het constante 4 × 4-matrices zijn, die bekend staan als Dirac-matrices:
We merken meteen dat de golffunctie niet langer een scalaire functie is en een vector wordt met vier componenten die een spinor worden genoemd:
Het Dirac-Jordan-atoom
Om het atomaire model te verkrijgen, is het nodig om van de vergelijking van het vrije elektron naar die van het elektron in het elektromagnetische veld dat door de atoomkern wordt geproduceerd, te gaan. Met deze interactie wordt rekening gehouden door de scalaire potentiaal Φ en de vectorpotentiaal A in de Hamiltoniaan op te nemen:
De golffunctie (spinor) die resulteert uit het incorporeren van deze Hamiltoniaan heeft de volgende kenmerken:
- Voldoet aan de speciale relativiteitstheorie, omdat het rekening houdt met de intrinsieke energie van het elektron (eerste term van de relativistische Hamiltoniaan)
- Het heeft vier oplossingen die overeenkomen met de vier componenten van spinor
- De eerste twee oplossingen komen overeen met spin + ½ en de andere met spin - ½
- Ten slotte voorspellen de andere twee oplossingen het bestaan van antimaterie, aangezien ze overeenkomen met die van positronen met tegengestelde spins.
Het grote voordeel van de Dirac-vergelijking is dat de correcties op de basis Schrodinger Hamiltoniaan H (o) kunnen worden opgesplitst in verschillende termen die we hieronder zullen laten zien:
In de vorige uitdrukking is V de scalaire potentiaal, aangezien de potentiële vector A nul is als wordt aangenomen dat het centrale proton stationair is en daarom niet verschijnt.
De reden dat de Dirac-correcties op de Schrodinger-oplossingen in de golffunctie subtiel zijn. Ze komen voort uit het feit dat de laatste drie termen van de gecorrigeerde Hamiltoniaan allemaal worden gedeeld door de snelheid c van het licht in het kwadraat, een enorm getal, waardoor deze termen numeriek klein zijn.
Relativistische correcties op het energiespectrum
Met behulp van de Dirac-Jordan-vergelijking vinden we correcties op het energiespectrum van het elektron in het waterstofatoom. Correcties voor energie in atomen met meer dan één elektron in geschatte vorm worden ook gevonden via een methodologie die bekend staat als perturbatietheorie.
Evenzo stelt het Dirac-model ons in staat om de fijne structuurcorrectie in de waterstofenergieniveaus te vinden.
Nog subtielere correcties zoals de hyperfijnstructuur en de Lamb-shift worden echter verkregen uit meer geavanceerde modellen zoals de kwantumveldentheorie, die precies is ontstaan uit de bijdragen van het Dirac-model.
De volgende afbeelding laat zien hoe Dirac's relativistische correcties op energieniveaus eruit zien:
Figuur 3. Correcties van het Dirac-model op de niveaus van het waterstofatoom. Bron: Wikimedia Commons.
De oplossingen voor de Dirac-vergelijking voorspellen bijvoorbeeld correct een waargenomen verschuiving op niveau 2s. Het is de bekende fijne structuurcorrectie in de Lyman-alpha-lijn van het waterstofspectrum (zie figuur 3).
Overigens is de fijne structuur de naam die in de atoomfysica wordt gegeven voor de verdubbeling van de lijnen van het emissiespectrum van atomen, wat een direct gevolg is van elektronische spin.
Figuur 4. Fijne structuursplitsing voor de grondtoestand n = 1 en de eerste aangeslagen toestand n = 2 in het waterstofatoom. Bron: R Wirnata. Relativistische correcties op waterstofachtige atomen. Researchgate.net
Artikelen van belang
Atoommodel van De Broglie.
Chadwick's atomaire model.
Atoommodel van Heisenberg.
Perrin's atomaire model.
Thomson's atomaire model.
Het atomaire model van Dalton.
Het atomaire model van Schrödinger.
Atoommodel van Democritus.
Bohr's atomaire model.
Referenties
- Atoom theorie. Opgehaald van wikipedia.org.
- Elektronisch magnetisch moment. Opgehaald van wikipedia.org.
- Quanta: een handboek met concepten. (1974). Oxford Universiteit krant. Opgehaald van Wikipedia.org.
- Atoommodel van Dirac Jordan. Opgehaald van prezi.com.
- Het nieuwe kwantumuniversum. Cambridge University Press. Opgehaald van Wikipedia.org.