Er is een orthogonale matrix wanneer genoemde matrix vermenigvuldigd met zijn transponering resulteert in de identiteitsmatrix. Als de inverse van een matrix gelijk is aan de transponering, is de oorspronkelijke matrix orthogonaal.
Orthogonale matrices hebben als kenmerk dat het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen. Verder zijn de rijvectoren orthogonale eenhedenvectoren en de getransponeerde rijvectoren ook.
Figuur 1. Voorbeeld van orthogonale matrix en hoe deze geometrische objecten transformeert. (Opgesteld door Ricardo Pérez)
Wanneer een orthogonale matrix wordt vermenigvuldigd met de vectoren van een vectorruimte, produceert het een isometrische transformatie, dat wil zeggen een transformatie die de afstanden niet verandert en de hoeken behoudt.
Een typische vertegenwoordiger van orthogonale matrices zijn rotatiematrices. De transformaties van orthogonale matrices op een vectorruimte worden orthogonale transformaties genoemd.
De geometrische transformaties van rotatie en reflectie van punten voorgesteld door hun Cartesiaanse vectoren worden uitgevoerd door orthogonale matrices toe te passen op de originele vectoren om de coördinaten van de getransformeerde vectoren te verkrijgen. Om deze reden worden orthogonale matrices op grote schaal gebruikt bij de verwerking van computergraphics.
Eigendommen
Een matrix M is orthogonaal als vermenigvuldigd met zijn getransponeerde M T geeft als resultaat de identiteitsmatrix I . Evenzo resulteert het product van de transponering van een orthogonale matrix door de originele matrix in de identiteitsmatrix:
MM T = M T M = Ik
Als gevolg van de vorige verklaring hebben we dat de transponering van een orthogonale matrix gelijk is aan zijn inverse matrix:
M T = M -1 .
De set orthogonale matrices met dimensie nxn vormen de orthogonale groep O (n). En de subset van O (n) van orthogonale matrices met determinant +1 vormen de groep van unitaire speciale matrices SU (n). De matrices van de groep SU (n) zijn matrices die lineaire rotatietransformaties produceren, ook wel de groep rotaties genoemd.
Demonstratie
We willen laten zien dat een matrix orthogonaal is als, en alleen als, de rijvectoren (of kolomvectoren) orthogonaal ten opzichte van elkaar en van norm 1 zijn.
Stel dat de rijen van een orthogonale matrix nxn n orthonormale vectoren van dimensie n zijn. Als het wordt aangeduid met v 1 , v 2 ,…., Dan geldt V n voor de n vectoren:
Waar het duidelijk is dat de set rijvectoren inderdaad een set orthogonale vectoren is met norm één.
Voorbeelden
voorbeeld 1
Laat zien dat de 2 x 2 matrix die in de eerste rij de vector v1 = (-1 0) heeft en in de tweede rij de vector v2 = (0 1) een orthogonale matrix is.
Oplossing: de matrix M wordt geconstrueerd en de transponering M T wordt berekend :
In dit voorbeeld is de matrix M zelf-getransponeerd, dat wil zeggen dat de matrix en de transpositie identiek zijn. Vermenigvuldig M met de transponering M T :
Er wordt geverifieerd dat MM T gelijk is aan de identiteitsmatrix:
Wanneer de matrix M wordt vermenigvuldigd met de coördinaten van een vector of een punt, worden nieuwe coördinaten verkregen die overeenkomen met de transformatie die de matrix op de vector of het punt maakt.
Figuur 1 laat zien hoe M de vector u omzet in u ' en ook hoe M de blauwe veelhoek omzet in de rode veelhoek. Omdat M orthogonaal is, is het dan een orthogonale transformatie, die de afstanden en de hoeken behoudt.
Voorbeeld 2
Stel dat u een matrix van 2 x 2 hebt gedefinieerd in de reële getallen die worden gegeven door de volgende uitdrukking:
Vind de werkelijke waarden van a, b, c en d zodat de matrix M een orthogonale matrix is.
Oplossing: per definitie is een matrix orthogonaal als vermenigvuldigd met zijn transpositie de identiteitsmatrix wordt verkregen. Onthoud dat de getransponeerde matrix wordt verkregen uit het origineel, waarbij rijen worden verwisseld voor kolommen, en de volgende gelijkheid wordt verkregen:
Bij het uitvoeren van matrixvermenigvuldiging hebben we:
Door de elementen van de linker matrix gelijk te stellen aan de elementen van de identiteitsmatrix aan de rechterkant, krijgen we een stelsel van vier vergelijkingen met vier onbekenden a, b, c en d.
We stellen voor a, b, c en d de volgende uitdrukkingen voor in termen van trigonometrische verhoudingen sinus en cosinus:
Met dit voorstel en vanwege de fundamentele trigonometrische identiteit, wordt automatisch voldaan aan de eerste en derde vergelijking in de gelijkheid van de matrixelementen. De derde en vierde vergelijking zijn hetzelfde en in matrixgelijkheid na vervanging van de voorgestelde waarden ziet het er als volgt uit:
wat leidt tot de volgende oplossing:
Ten slotte worden de volgende oplossingen verkregen voor de orthogonale matrix M:
Merk op dat de eerste van de oplossing determinant +1 heeft en dus tot de groep SU (2) behoort, terwijl de tweede oplossing determinant -1 heeft en daarom niet tot deze groep behoort.
Voorbeeld 3
Gegeven de volgende matrix, zoek de waarden van a en van b zodat we een orthogonale matrix hebben.
Oplossing: wil een gegeven matrix orthogonaal zijn, dan moet het product met zijn transpositie de identiteitsmatrix zijn. Vervolgens wordt het matrixproduct van de gegeven matrix met zijn getransponeerde matrix uitgevoerd, wat het volgende resultaat geeft:
Vervolgens wordt het resultaat gelijkgesteld aan de 3 x 3 identiteitsmatrix:
In de tweede rij heeft de derde kolom (ab = 0), maar a kan niet nul zijn, omdat anders niet aan de gelijkheid van de elementen van de tweede rij en tweede kolom zou worden voldaan. Dan noodzakelijkerwijs b = 0. Als we b vervangen door de waarde 0, hebben we:
Dan is de vergelijking opgelost: 2a ^ 2 = 1, waarvan de oplossingen zijn: + ½√2 en -½√2.
Als we de positieve oplossing voor a nemen, wordt de volgende orthogonale matrix verkregen:
De lezer kan gemakkelijk verifiëren dat de rijvectoren (en ook de kolomvectoren) orthogonaal en unitair zijn, dat wil zeggen orthonormaal.
Voorbeeld 4
Laat zien dat de matrix A waarvan de rijvectoren v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) en v3 = (0 0 -1) zijn, een orthogonale matrix is. Vind bovendien dat de vectoren zijn getransformeerd van de canonieke basis i, j, k naar vectoren u1 , u2 en u3 .
Oplossing: er moet aan worden herinnerd dat het element (i, j) van een matrix vermenigvuldigd met de transpositie, het scalaire product is van de vector van rij (i) met die van kolom (j) van de transpositie. Bovendien is dit product gelijk aan de Kronecker-delta in het geval dat de matrix orthogonaal is:
In ons geval ziet het er als volgt uit:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Waarmee wordt aangetoond dat het een orthogonale matrix is.
Verder u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) en tenslotte u3 = A k = (0, 0, -1)
Referenties
- Anthony Nicolaides (1994) Determinanten en matrices. Pass publicatie.
- Birkhoff en MacLane. (1980). Moderne algebra, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Inleiding tot lineaire algebra. ESIC-redactie.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Wiskunde van 30 seconden: de 50 meest geestverruimende theorieën in de wiskunde. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Orthogonale matrix. Hersteld van: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Orthogonale matrix. Hersteld van: en.wikipedia.com