- De inverse van een matrix berekenen
- Methode 1: Gaussiaanse eliminatie gebruiken
- Systeemoplossing
- Methode 2: bijgevoegde matrix gebruiken
- Inverse matrix formule
- Oefening opgelost
- Referenties
De inverse matrix van een gegeven matrix is de matrix die vermenigvuldigd met het origineel de identiteitsmatrix oplevert. De inverse matrix is handig voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen, vandaar het belang om te weten hoe deze moet worden berekend.
Matrices zijn erg handig in de natuurkunde, techniek en wiskunde, omdat ze een compact hulpmiddel zijn voor het oplossen van complexe problemen. De bruikbaarheid van matrices wordt vergroot wanneer ze inverteerbaar zijn en ook hun inverse is bekend.
Figuur 1. Een generieke 2x2 matrix en zijn inverse matrix worden getoond. (Opgesteld door Ricardo Pérez)
Op het gebied van grafische verwerking, big data, datamining, machine learning en andere worden efficiënte en snelle algoritmen gebruikt om de inverse matrix van nxn-matrices met zeer grote n, in de orde van duizenden of miljoenen, te evalueren.
Om het gebruik van de inverse matrix bij het hanteren van een stelsel lineaire vergelijkingen te illustreren, zullen we beginnen met het eenvoudigste geval van allemaal: 1 × 1 matrices.
Het eenvoudigste geval: een lineaire vergelijking van een enkele variabele wordt beschouwd: 2 x = 10.
Het idee is om de waarde van x te vinden, maar het zal "matrix" worden gedaan.
De matrix M = (2) die de vector (x) vermenigvuldigt, is een 1 × 1 matrix die resulteert in de vector (10):
M (x) = (10)
De inverse van de matrix M wordt aangegeven met M -1 .
De algemene manier om dit "lineaire systeem" te schrijven is:
MX = B, waarbij X de vector (x) is en B de vector (10).
Per definitie is de inverse matrix degene die vermenigvuldigd met de originele matrix resulteert in de identiteitsmatrix I:
M -1 M = I
In het beschouwde geval is de matrix M -1 de matrix (½), dat wil zeggen M -1 = (½) aangezien M -1 M = (½) (2) = (1) = I
Om de onbekende vector X = (x) te vinden, worden in de voorgestelde vergelijking beide leden vermenigvuldigd met de inverse matrix:
M -1 M (x) = M -1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(x) = (5)
Er is een gelijkheid van twee vectoren bereikt, die alleen gelijk zijn als hun overeenkomstige elementen gelijk zijn, dat wil zeggen x = 5.
De inverse van een matrix berekenen
Wat de berekening van de inverse matrix motiveert, is het vinden van een universele methode voor het oplossen van lineaire systemen zoals het volgende 2 × 2-systeem:
x - 2 y = 3
-x + y = -2
Door de stappen te volgen van de 1 × 1 casus, bestudeerd in de vorige sectie, schrijven we het stelsel vergelijkingen in matrixvorm:
Figuur 2. Lineair systeem in matrixvorm.
Merk op dat dit systeem als volgt in compacte vectornotatie is geschreven:
MX = B
waar
De volgende stap is om de inverse van M.
Methode 1: Gaussiaanse eliminatie gebruiken
De Gauss-eliminatiemethode zal worden toegepast. Die bestaat uit het uitvoeren van elementaire bewerkingen op de rijen van de matrix, deze bewerkingen zijn:
- Vermenigvuldig een rij met een getal dat niet gelijk is aan nul.
- Een andere rij optellen of aftrekken van een rij, of het veelvoud van een andere rij.
- Verwissel de rijen.
Het doel is om door middel van deze bewerkingen de originele matrix om te zetten in de identiteitsmatrix.
Terwijl dit wordt gedaan, zijn precies dezelfde bewerkingen van toepassing op de identiteitsmatrix in matrix M. Wanneer, na verschillende bewerkingen op de rijen, M wordt getransformeerd naar de eenheidsmatrix, dan wordt degene die oorspronkelijk de eenheid was, de inverse matrix van M, dat wil zeggen M -1 .
1- We beginnen het proces door de matrix M te schrijven en daarnaast de eenheidsmatrix:
2- We voegen de twee rijen toe en we plaatsen het resultaat in de tweede rij, op deze manier krijgen we een nul in het eerste element van de tweede rij:
3- We vermenigvuldigen de tweede rij met -1 om 0 en 1 in de tweede rij te krijgen:
4- De eerste rij wordt vermenigvuldigd met ½:
5- De tweede en de eerste worden toegevoegd en het resultaat wordt op de eerste rij geplaatst:
6- Om het proces te voltooien, wordt de eerste rij vermenigvuldigd met 2 om de identiteitsmatrix in de eerste rij te verkrijgen en de inverse matrix van de oorspronkelijke matrix M in de tweede:
Het is te zeggen:
Systeemoplossing
Zodra de inverse matrix is verkregen, gaan we verder met het oplossen van het stelsel vergelijkingen door de inverse matrix toe te passen op beide leden van de compacte vectorvergelijking:
M -1 M X = M -1 B
X = M -1 B
Wat er expliciet zo uitziet:
Vervolgens wordt matrixvermenigvuldiging uitgevoerd om vector X te verkrijgen:
Methode 2: bijgevoegde matrix gebruiken
Bij deze tweede werkwijze wordt de inverse matrix wordt berekend uit de aanvullende matrix van de oorspronkelijke matrix A .
Stel een matrix A gegeven door:
waarbij i, j het element in rij i en kolom j van de matrix A .
De toegevoegde van matrix A wordt genoemd Adj (A) en elementen:
ad i, j = (-1) (i + j) ¦Ai, j¦
waarbij Ai, j de complementaire onderste matrix is die wordt verkregen door de rij i en kolom j van de oorspronkelijke matrix A te elimineren . De balken ¦ ¦ geven aan dat de determinant wordt berekend, dat wil zeggen ¦Ai, j¦ is de determinant van de secundaire complementaire matrix.
Inverse matrix formule
De formule om de inverse matrix te vinden uitgaande van de aangrenzende matrix van de oorspronkelijke matrix is als volgt:
Is de inverse matrix van A , A -1 , is de getransponeerde van de toegevoegde van een gedeeld door de determinant van A .
De transponeer A T van een matrix A wordt verkregen door rijen voor kolommen uit te wisselen, dat wil zeggen, de eerste rij wordt de eerste kolom en de tweede rij wordt de tweede kolom enzovoort, totdat de n rijen van de oorspronkelijke matrix zijn voltooid.
Oefening opgelost
Laat de matrix A de volgende zijn:
Elk element van de adjunct-matrix van A wordt berekend: Adj (A)
Het resultaat is dat de adjunct-matrix van A, Adj (A) het volgende is:
Vervolgens wordt de determinant van matrix A, det (A) berekend:
Ten slotte wordt de inverse matrix van A verkregen:
Referenties
- Anthony Nicolaides (1994) Determinanten en matrices. Pass publicatie.
- Awol Assen (2013) Een onderzoek naar de berekening van de determinanten van een 3 × 3
- Casteleiro Villalba M. (2004) Inleiding tot lineaire algebra. ESIC-redactie.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Wiskunde van 30 seconden: de 50 meest geestverruimende theorieën in de wiskunde. Ivy Press Limited.
- Matrix. Lap Lambert Academic Publishing.