YOUNG'S MODULE: CALCULUS, TOEPASSINGEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De Young's modulus of elastische modulus is de constante die de treksterkte of compressie relateert aan de respectievelijke toename of afname in lengte waarbij het object onder deze krachten valt.

Externe krachten die op objecten worden uitgeoefend, kunnen niet alleen hun bewegingstoestand veranderen, maar zijn ook in staat om hun vorm te veranderen of ze zelfs te breken of te breken.

Figuur 1. De bewegingen van de kat zijn vol elasticiteit en gratie. Bron: Pixabay.

Young's modulus wordt gebruikt om de veranderingen te bestuderen die in een materiaal worden geproduceerd wanneer een trek- of drukkracht extern wordt uitgeoefend. Het is erg handig bij vakken zoals techniek of architectuur.

Het model dankt zijn naam aan de Britse wetenschapper Thomas Young (1773-1829), die degene was die materiaalstudies uitvoerde en een maatstaf voor de stijfheid van verschillende materialen voorstelde.

Wat is het model van Young?

Young's model is een maatstaf voor stijfheid. Bij materialen met een lage stijfheid (rood) is er meer vervorming onder een rek- of drukbelasting. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Hoeveel kan een object worden vervormd? Dit is iets dat ingenieurs vaak willen weten. Het antwoord hangt af van de eigenschappen van het materiaal en de afmetingen die het heeft.

U kunt bijvoorbeeld twee staven van aluminium met verschillende afmetingen vergelijken. Elk heeft een ander dwarsdoorsnedegebied en lengte, en beide worden onderworpen aan dezelfde trekkracht.

Het verwachte gedrag is het volgende:

- Hoe groter de dikte (doorsnede) van de staaf, hoe minder rek.

- Hoe langer de aanvankelijke lengte, hoe groter het laatste stuk.

Logisch, want de ervaring leert immers dat het proberen om een ​​elastiekje te vervormen niet hetzelfde is als het proberen met een stalen staaf.

Een parameter genaamd de elasticiteitsmodulus van het materiaal is een indicatie van de elastische respons.

Hoe wordt het berekend?

Als arts wilde Young weten welke rol de elasticiteit van de slagaders speelt bij de goede werking van de bloedcirculatie. Uit zijn ervaringen concludeerde hij de volgende empirische relatie:

Het is mogelijk om het gedrag van een materiaal onder toepassing van spanning grafisch weer te geven, zoals weergegeven in de volgende afbeelding.

Figuur 2. Grafiek van spanning versus rek voor een materiaal. Bron: zelf gemaakt.

Van oorsprong tot punt A

In het eerste deel, dat van de oorsprong naar punt A gaat, is de grafiek een rechte lijn. De wet van Hooke is daar geldig:

F = kx

Waar F de grootte is van de kracht die het materiaal terugbrengt naar zijn oorspronkelijke staat, x is de vervorming die het ervaart en k is een constante die afhangt van het object dat aan de spanning wordt blootgesteld.

De hier beschouwde vervormingen zijn klein en het gedrag is perfect elastisch.

Van A naar B

Van A naar B gedraagt ​​het materiaal zich ook elastisch, maar de relatie tussen spanning en rek is niet langer lineair.

Van B naar C

Tussen de punten B en C ondergaat het materiaal een permanente vervorming en kan het niet terugkeren naar zijn oorspronkelijke staat.

Van C

Als het materiaal vanaf punt C blijft uitrekken, breekt het uiteindelijk.

Wiskundig gezien kunnen de observaties van Young als volgt worden samengevat:

Stress ∝ Strain

Waar de evenredigheidsconstante precies de elasticiteitsmodulus van het materiaal is:

Spanning = Elasticiteitsmodulus x Vervorming

Er zijn veel manieren om materialen te vervormen. De drie meest voorkomende soorten stress waaraan een object wordt blootgesteld, zijn:

- Spanning of uitrekken.

- Compressie.

- Knippen of knippen.

Een van de dingen waar materialen vaak aan worden blootgesteld, bijvoorbeeld in de civiele bouw of auto-onderdelen, is tractie.

Formules

Wanneer een object met lengte L wordt uitgerekt of gespannen, wordt het onderworpen aan een tractie die een variatie in de lengte veroorzaakt. Een diagram van deze situatie is weergegeven in figuur 3.

Dit vereist dat een kracht van grootte F per oppervlakte-eenheid op de uiteinden wordt uitgeoefend om uitrekking te veroorzaken, op een zodanige manier dat de nieuwe lengte L + DL wordt.

De inspanning die wordt geleverd om het object te vervormen, zal precies deze kracht per oppervlakte-eenheid zijn, terwijl de ervaren belasting ΔL / L.

Figuur 3. Een object dat wordt onderworpen aan tractie of uitrekking, ervaart rek. Bron: zelf gemaakt.

Geeft Young's modulus aan als Y, en volgens het bovenstaande:

Het antwoord ligt in het feit dat de rek de relatieve rek aangeeft ten opzichte van de oorspronkelijke lengte. Het is niet hetzelfde als een staaf van 1 m strekt of krimpt met 1 cm, aangezien een structuur van 100 meter lang evenzeer wordt vervormd met 1 cm.

Voor het goed functioneren van onderdelen en constructies is er een tolerantie ten aanzien van de toelaatbare relatieve vervormingen.

Vergelijking om vervorming te berekenen

Als de bovenstaande vergelijking als volgt wordt geanalyseerd:

- Hoe groter het dwarsdoorsnedegebied, hoe minder vervorming.

- Hoe langer de lengte, hoe groter de vervorming.

- Hoe hoger de Young-modulus, hoe lager de vervorming.

Eenheden van spanning komen overeen met newton / vierkante meter (N / m ² ). Het zijn ook de eenheden van druk, die in het internationale systeem de naam Pascal dragen. De rek ΔL / L, aan de andere kant, is dimensieloos omdat het het quotiënt is tussen twee lengtes.

De eenheden van het Engelse systeem zijn lb / in ² en worden ook heel vaak gebruikt. De conversiefactor om van de een naar de ander te gaan is: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Dit leidt ertoe dat de Young-modulus ook drukeenheden heeft. Ten slotte kan de bovenstaande vergelijking worden uitgedrukt om Y op te lossen:

In de materiaalkunde is de elastische reactie hiervan op verschillende inspanningen belangrijk om de meest geschikte te selecteren voor elke toepassing, of het nu gaat om het vervaardigen van een vliegtuigvleugel of een autolager. De eigenschappen van het te gebruiken materiaal zijn bepalend voor de respons die ervan wordt verwacht.

Om het beste materiaal te kiezen, is het noodzakelijk om de spanningen te kennen waaraan een bepaald stuk zal worden blootgesteld; en selecteer vervolgens het materiaal dat de eigenschappen heeft die het meest in overeenstemming zijn met het ontwerp.

De vleugel van een vliegtuig moet bijvoorbeeld sterk, licht en buigzaam zijn. De materialen die bij de constructie van gebouwen worden gebruikt, moeten in hoge mate seismische bewegingen kunnen weerstaan, maar ze moeten ook enige flexibiliteit hebben.

Ingenieurs die vliegtuigvleugels ontwerpen, en ook degenen die constructiematerialen kiezen, moeten gebruik maken van spannings-rekgrafieken zoals weergegeven in figuur 2.

Metingen om de meest relevante elastische eigenschappen van een materiaal te bepalen, kunnen in gespecialiseerde laboratoria worden uitgevoerd. Zo zijn er gestandaardiseerde tests waaraan de monsters worden onderworpen, waarop verschillende spanningen worden uitgeoefend, om later de resulterende vervormingen te meten.

Voorbeelden

Zoals hierboven al vermeld, hangt Y niet af van de grootte of vorm van het object, maar van de eigenschappen van het materiaal.

Nog een zeer belangrijke opmerking: om de bovenstaande vergelijking van toepassing te laten zijn, moet het materiaal isotroop zijn, dat wil zeggen dat de eigenschappen overal ongewijzigd moeten blijven.

Niet alle materialen zijn isotroop: er zijn er waarvan de elastische respons afhankelijk is van bepaalde richtingsparameters.

De vervorming die in de vorige segmenten is geanalyseerd, is slechts een van de vele waaraan een materiaal kan worden blootgesteld. In termen van drukspanning is het bijvoorbeeld het tegenovergestelde van trekspanning.

De gegeven vergelijkingen zijn van toepassing op beide gevallen en de waarden van Y zijn bijna altijd hetzelfde (isotrope materialen).

Een opmerkelijke uitzondering is beton of cement, dat compressie beter weerstaat dan tractie. Daarom moet het worden versterkt wanneer weerstand tegen uitrekken vereist is. Staal is hiervoor het materiaal, omdat het zeer goed bestand is tegen uitrekken of trekkracht.

Voorbeelden van constructies die onderhevig zijn aan stress zijn onder meer het bouwen van kolommen en bogen, klassieke bouwelementen in veel oude en moderne beschavingen.

Figuur 4. De Pont Julien, een Romeins bouwwerk uit 3 v. Chr. In Zuid-Frankrijk.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een staaldraad van 2,0 m lang in een muziekinstrument heeft een straal van 0,03 mm. Als de kabel onder een spanning van 90 N staat: hoeveel verandert de lengte? Gegevens: Young's modulus van staal is 200 x 10 ⁹ N / m ²

Oplossing

Het is vereist om het dwarsdoorsnedegebied A = πR ² = π te berekenen . (0,03 x ^10-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Stress is stress per oppervlakte-eenheid:

Omdat de snaar onder spanning staat, betekent dit dat hij langer wordt.

De nieuwe lengte is L = L _o + DL, waarbij L _o de initiële lengte is:

L = 2,32 m

Oefening 2

Een marmeren zuil, met een dwarsdoorsnede van 2,0 m ^2, ondersteunt een massa van 25.000 kg. Vind:

a) De inspanning in de wervelkolom.

b) Stam.

c) Hoeveel korter is de kolom bij een hoogte van 12 m?

Oplossing

a) De inspanning in de kolom is te wijten aan het gewicht van de 25000 kg:

P = mg = 25.000 kg x 9,8 m / s ² = 245.000 N.

Daarom is de inspanning:

b) Stam is ΔL / L:

c) ΔL is de variatie van de lengte, gegeven door:

ΔL = 2,45 x ^10-6 x 12 m = 2,94 x ^10-5 m = 0,0294 mm.

De marmeren kolom zal naar verwachting niet significant krimpen. Merk op dat hoewel Young's modulus lager is in marmer dan in staal, en dat de kolom ook een veel grotere kracht ondersteunt, de lengte bijna niet varieert.

Aan de andere kant is de variatie in het touw van het vorige voorbeeld veel merkbaarder, hoewel het staal een veel hogere Young-modulus heeft.

Zijn grote dwarsdoorsnedegebied grijpt in in de kolom en is daarom veel minder vervormbaar.

Over Thomas Young

1822 portret van Thomas Young. Thomas Lawrence / Openbaar domein

De elasticiteitsmodulus is genoemd naar Thomas Young (1773-1829), een veelzijdige Britse wetenschapper die op veel gebieden een grote bijdrage heeft geleverd aan de wetenschap.

Als natuurkundige bestudeerde Young niet alleen de golfkarakteristiek van licht, onthuld door het beroemde experiment met dubbele spleet, maar hij was ook een arts, taalkundige en hielp zelfs bij het ontcijferen van enkele van de Egyptische hiërogliefen op de beroemde Rosetta-steen.

Hij was lid van de Royal Society, de Royal Swedish Academy of Sciences, de American Academy of Arts and Sciences of de French Academy of Sciences, naast andere nobele wetenschappelijke instellingen.

Er moet echter worden opgemerkt dat het concept van het model eerder werd ontwikkeld door Leonhar Euler (1707-1873), en dat wetenschappers zoals Giordano Riccati (1709-1790) al een experiment hadden uitgevoerd dat Young's model in de praktijk zou hebben gebracht. .

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Natuurkunde: principes met toepassingen. Zesde editie. Prentice Hall. 238–249.