MORGAN LAWS - WISKUNDE - 2025

De ogen van Morgan zijn inferentieregels die in de propositielogica worden gebruikt en die vaststellen wat het resultaat is van het ontkennen van een disjunctie en een conjunctie van proposities of propositionele variabelen. Deze wetten werden gedefinieerd door de wiskundige Augustus De Morgan.

De wetten van Morgan vormen een zeer nuttig hulpmiddel om de geldigheid van wiskundig redeneren aan te tonen. Later werden ze gegeneraliseerd binnen het concept van sets door de wiskundige George Boole.

Deze generalisatie van Boole is volledig gelijk aan de oorspronkelijke wetten van Morgan, maar is specifiek ontwikkeld voor verzamelingen in plaats van voor proposities. Deze generalisatie wordt ook wel de wetten van Morgan genoemd.

Herziening van propositionele logica

Voordat we kijken naar wat de wetten van Morgan specifiek zijn en hoe ze worden gebruikt, is het nuttig om enkele basisbegrippen van propositielogica te onthouden. (Zie voor meer details het artikel over propositionele logica).

Op het gebied van wiskundige (of propositionele) logica is een gevolgtrekking een conclusie die wordt getrokken uit een reeks premissen of hypothesen. Deze conclusie, samen met de eerder genoemde premissen, geeft aanleiding tot wat bekend staat als wiskundig redeneren.

Een dergelijke redenering moet aantoonbaar zijn of worden ontkend; dat wil zeggen, niet alle gevolgtrekkingen of conclusies in wiskundig redeneren zijn geldig.

Denkfout

Een valse gevolgtrekking op basis van bepaalde hypothesen waarvan wordt aangenomen dat ze waar zijn, staat bekend als een denkfout. De drogredenen hebben de eigenaardigheid dat ze argumenten zijn die correct lijken, maar wiskundig gezien zijn ze dat niet.

Propositionele logica is precies verantwoordelijk voor het ontwikkelen en verstrekken van methoden waarmee, zonder enige dubbelzinnigheid, een wiskundige redenering kan worden gevalideerd of weerlegd; dat wil zeggen, een geldige conclusie afleiden uit premissen. Deze methoden staan ​​bekend als inferentieregels, waarvan de wetten van Morgan deel uitmaken.

Stellingen

De essentiële elementen van propositionele logica zijn proposities. Proposities zijn uitspraken waarvan kan worden gezegd dat ze geldig zijn of niet, maar die niet tegelijkertijd waar of onwaar kunnen zijn. Er mag in deze kwestie geen onduidelijkheid bestaan.

Net zoals getallen kunnen worden gecombineerd door de bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, kunnen proposities worden bediend door middel van de bekende logische connectieven (of connectoren): negatie (¬, “niet”), disjunctie (V , "Of"), voegwoord (Ʌ, "en"), voorwaardelijk (→, "als …, dan …") en biconditioneel (↔, "als, en alleen als").

Om algemener te werken, in plaats van specifieke proposities te beschouwen, worden propositionele variabelen die alle proposities vertegenwoordigen, in overweging genomen, en ze worden meestal aangeduid met kleine letters p, q, r, s, enz.

Een propositionele formule is een combinatie van propositionele variabelen door middel van enkele van de logische connectieven. Met andere woorden, het is een samenstelling van propositionele variabelen. Ze worden meestal aangeduid met Griekse letters.

Er wordt gezegd dat een propositionele formule logischerwijs een andere impliceert wanneer de laatste waar is, elke keer dat de eerste waar is. Dit wordt aangegeven door:

Wanneer de logische implicatie tussen twee propositionele formules wederkerig is - dat wil zeggen, wanneer de vorige implicatie ook geldig is in de tegenovergestelde zin - wordt gezegd dat de formules logisch equivalent zijn, en wordt aangegeven met

Logische gelijkwaardigheid is een soort gelijkheid tussen propositionele formules en staat toe dat de ene door de andere wordt vervangen wanneer dat nodig is.

Morgan's wetten

Morgan's wetten bestaan ​​uit twee logische equivalenties tussen twee propositionele vormen, namelijk:

Deze wetten maken het mogelijk om de ontkenning van een disjunctie of conjunctie te scheiden als ontkenning van de betrokken variabelen.

De eerste kan als volgt worden gelezen: de negatie van een disjunctie is gelijk aan de conjunctie van de negaties. En de tweede luidt als volgt: de ontkenning van een conjunctie is de disjunctie van ontkenningen.

Met andere woorden, het ontkennen van de disjunctie van twee propositionele variabelen is equivalent aan de conjunctie van de ontkenningen van beide variabelen. Evenzo staat het ontkennen van de conjunctie van twee propositionele variabelen gelijk aan de disjunctie van de ontkenningen van beide variabelen.

Zoals eerder vermeld, helpt het vervangen van deze logische equivalentie om belangrijke resultaten te bewijzen, samen met de andere bestaande inferentieregels. Hiermee kun je veel propositionele formules vereenvoudigen, zodat ze nuttiger zijn om mee te werken.

Het volgende is een voorbeeld van een wiskundig bewijs met behulp van inferentieregels, inclusief de wetten van Morgan. Concreet wordt aangetoond dat de formule:

Het is gelijk aan:

Dit laatste is eenvoudiger te begrijpen en te ontwikkelen.

Demonstratie

Het is vermeldenswaard dat de geldigheid van Morgan's wetten wiskundig kan worden aangetoond. Een manier is door uw waarheidstabellen te vergelijken.

Sets

Dezelfde inferentieregels en de noties van logica die op proposities worden toegepast, kunnen ook worden ontwikkeld met betrekking tot sets. Dit is wat bekend staat als Booleaanse algebra, naar de wiskundige George Boole.

Om de gevallen te differentiëren, is het noodzakelijk om de notatie te veranderen en over te dragen naar verzamelingen, alle reeds geziene noties van propositionele logica.

Een set is een verzameling objecten. Sets worden aangeduid met hoofdletters A, B, C, X, … en de elementen van een set worden aangeduid met kleine letters a, b, c, x, etc. Wanneer een element a tot een verzameling X behoort, wordt dit aangeduid met:

Als het niet bij X hoort, is de notatie:

De manier om sets weer te geven is door hun elementen tussen accolades te plaatsen. De reeks natuurlijke getallen wordt bijvoorbeeld weergegeven door:

Sets kunnen ook worden weergegeven zonder een expliciete lijst van hun elementen te schrijven. Ze kunnen worden uitgedrukt in de vorm {:}. De dubbele punt wordt gelezen "zodanig dat". Links van de twee punten wordt een variabele geplaatst die de elementen van de set vertegenwoordigt, en aan de rechterkant wordt de eigenschap of voorwaarde geplaatst waaraan ze voldoen. Dit is:

De verzameling hele getallen groter dan -4 kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt als:

Of equivalent, en meer afgekort, als:

Evenzo vertegenwoordigen de volgende uitdrukkingen de sets van respectievelijk oneven en even getallen:

Samenvoeging, kruising en aanvullingen van sets

Vervolgens zullen we de analogen van logische connectieven zien in het geval van sets, die deel uitmaken van de basisbewerkingen tussen sets.

Unie en kruispunt

De vereniging en het snijpunt van verzamelingen worden respectievelijk als volgt gedefinieerd:

Beschouw bijvoorbeeld de sets:

Dus je moet:

Aanvulling

Het complement van een set wordt gevormd door de elementen die niet tot de set behoren (van hetzelfde type dat het origineel vertegenwoordigt). Het complement van een set A, wordt aangegeven door:

Binnen natuurlijke getallen is het complement van de reeks even getallen bijvoorbeeld dat van oneven getallen en vice versa.

Om het complement van een verzameling te bepalen, moet de universele of voornaamste verzameling van de elementen in kwestie vanaf het begin duidelijk zijn. Het is bijvoorbeeld niet hetzelfde om het complement van een verzameling boven natuurlijke getallen te beschouwen als boven rationale getallen.

De volgende tabel toont de relatie of analogie die bestaat tussen de bewerkingen op eerder gedefinieerde sets en de connectieven van propositielogica:

Morgan's wetten voor sets

Ten slotte zijn de wetten van Morgan op sets:

In woorden: het complement van een unie is het snijpunt van de complementen, en het complement van een snijpunt is de unie van de complementen.

Een wiskundig bewijs van de eerste gelijkheid zou het volgende zijn:

Het bewijs van de tweede is analoog.

Referenties

1. Almaguer, G. (2002). Wiskunde 1. Redactioneel Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logica, sets en cijfers. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Inleiding tot de getaltheorie. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Basiscursus getaltheorie. Northern University.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hoe wiskundig logisch redeneren te ontwikkelen. University Publishing House.
6. Guevara, MH (zd). Theorie van getallen. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Nummer theorie Redactionele Visie Libros.