WETTEN VAN EXPONENTEN (MET VOORBEELDEN EN OPGELOSTE OEFENINGEN) - WISKUNDE - 2026

De wetten van exponenten zijn de wetten die van toepassing zijn op dat getal en die aangeven hoe vaak een basegetal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd. De exponenten worden ook wel machten genoemd. Empowerment is een wiskundige bewerking die wordt gevormd door een grondslag (a), de exponent (m) en de macht (b), die het resultaat is van de bewerking.

Exponenten worden over het algemeen gebruikt wanneer zeer grote hoeveelheden worden gebruikt, omdat dit niets meer zijn dan afkortingen die de vermenigvuldiging van hetzelfde getal een bepaald aantal keren vertegenwoordigen. Machten kunnen zowel positief als negatief zijn.

Verklaring van de wetten van exponenten

Zoals eerder vermeld, zijn exponenten een steno-vorm die meerdere keren met zichzelf vermenigvuldigt, waarbij de exponent alleen betrekking heeft op het getal aan de linkerkant. Bijvoorbeeld:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

In dat geval is het getal 2 de basis van de macht, die 3 keer zal worden vermenigvuldigd zoals aangegeven door de exponent, gelegen in de rechterbovenhoek van de basis. Er zijn verschillende manieren om de uitdrukking te lezen: 2 verheven tot 3 of ook 2 verheven tot de kubus.

De exponenten geven ook het aantal keren aan dat ze kunnen worden gedeeld, en om deze bewerking te onderscheiden van vermenigvuldiging, heeft de exponent het minteken (-) ervoor (het is negatief), wat betekent dat de exponent in de noemer van een staat. fractie. Bijvoorbeeld:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Dit moet niet worden verward met het geval waarin de basis negatief is, aangezien het afhangt van of de exponent even of oneven is om te bepalen of de macht positief of negatief zal zijn. Dus je moet:

- Als de exponent even is, is de kracht positief. Bijvoorbeeld:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Als de exponent oneven is, is de macht negatief. Bijvoorbeeld:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Er is een speciaal geval waarin als de exponent gelijk is aan 0, de macht gelijk is aan 1. Er is ook de mogelijkheid dat de basis 0 is; in dat geval zal, afhankelijk van de exponent, de macht onbepaald zijn of niet.

Om wiskundige bewerkingen met exponenten uit te voeren, is het noodzakelijk om verschillende regels of normen te volgen die het gemakkelijker maken om de oplossing voor die bewerkingen te vinden.

Eerste wet: macht van exponent gelijk aan 1

Als de exponent 1 is, is het resultaat dezelfde waarde van het grondtal: a ¹ = a.

Voorbeelden

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Tweede wet: macht van exponent gelijk aan 0

Als de exponent 0 is en het grondtal niet nul is, is het resultaat: a ⁰ = 1.

Voorbeelden

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Derde wet: negatieve exponent

Aangezien de exponte negatief is, is het resultaat een breuk, waarbij de macht de noemer is. Als m bijvoorbeeld positief is, dan is a ^-m = 1 / a ^m .

Voorbeelden

- 3 ^-1 = 1/3.

- ^6-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Vierde wet: vermenigvuldiging van machten met gelijke basis

Om machten te vermenigvuldigen waarbij de basen gelijk zijn aan en verschillen van 0, blijft de basis over en worden de exponenten opgeteld: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Voorbeelden

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Vijfde wet: verdeling van bevoegdheden met gelijke basis

Om machten te delen waarin de basen gelijk zijn aan en verschillen van 0, wordt de basis behouden en worden de exponenten als volgt afgetrokken: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Voorbeelden

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^October = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^december / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Zesde wet: vermenigvuldiging van bevoegdheden met verschillende basis

Deze wet heeft het tegenovergestelde van wat in de vierde wordt uitgedrukt; dat wil zeggen, als je verschillende basen hebt maar met dezelfde exponenten, worden de basen vermenigvuldigd en wordt de exponent behouden: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Voorbeelden

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Een andere manier om deze wet weer te geven, is wanneer een vermenigvuldiging tot een macht wordt verheven. De exponent behoort dus tot elk van de termen: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Voorbeelden

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Zevende wet: verdeling van bevoegdheden met verschillende basis

Als je verschillende basen hebt maar met dezelfde exponenten, deel dan de basen en behoud de exponent: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Voorbeelden

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

Evenzo, wanneer een deling wordt verhoogd tot een macht, zal de exponent in elk van de termen thuishoren: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Voorbeelden

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Er is het geval waarin de exponent negatief is. Om positief te zijn, wordt de waarde van de teller als volgt omgekeerd met die van de noemer:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Achtste wet: macht van een macht

Als je een macht hebt die wordt verheven naar een andere macht -dat wil zeggen, twee exponenten tegelijk-, wordt de basis gehandhaafd en worden de exponenten vermenigvuldigd: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Voorbeelden

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Negende wet: fractionele exponent

Als de macht een breuk als exponent heeft, wordt dit opgelost door deze om te zetten in een n-de wortel, waarbij de teller als exponent blijft en de noemer de index van de wortel vertegenwoordigt:

Voorbeeld

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bereken de bewerkingen tussen machten met verschillende bases:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Oplossing

Door de regels van exponenten toe te passen, worden de basen vermenigvuldigd met de teller en wordt de exponent behouden, als volgt:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Nu we dezelfde basissen hebben maar met verschillende exponenten, wordt de basis behouden en worden de exponenten afgetrokken:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Oefening 2

Bereken de bewerkingen tussen machten die tot een andere macht zijn verheven:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Oplossing

Als u de wetten toepast, moet u:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

3 = ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

3 = ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Referenties

1. Aponte, G. (1998). Fundamentals Of Basic Mathematics. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Wiskunde toegepast op het dagelijks leven.
3. Jiménez, JR (2009). Wiskunde 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra en trigonometrie.
5. Rees, PK (1986). Reverte.