FERMAT-LIMIET: WAARUIT HET BESTAAT EN OEFENINGEN OPGELOST - WISKUNDE - 2026

De Fermat-limiet is een numerieke methode die wordt gebruikt om de waarde te verkrijgen van de helling van een lijn, die op een bepaald punt in zijn domein raakt aan een functie. Het wordt ook gebruikt om kritische punten van een functie te verkrijgen. De uitdrukking ervan wordt gedefinieerd als:

Het is duidelijk dat Fermat de grondbeginselen van afleiding niet kende, maar het waren zijn studies die een groep wiskundigen ertoe brachten te informeren naar raaklijnen en hun toepassingen in calculus.

Wat is de limiet van Fermat?

Het bestaat uit een nadering van 2 punten, die in eerdere omstandigheden een secanslijn vormen naar de functie met doorsnijding in waardenparen.

Door de variabele te benaderen tot de waarde "a", wordt het paar punten gedwongen te voldoen. Op deze manier raakt de voorheen secanslijn raakt aan het punt (a; f (a)).

De waarde van het quotiënt (x - a), wanneer geëvalueerd op punt "a", levert een onbepaaldheid van limieten van het type K tussen nul (K / 0) op. Waar door verschillende factoringstechnieken deze onbepaaldheden kunnen worden doorbroken.

De meest gebruikte bedieningstechnieken zijn:

-Verschil van kwadraten (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Het bestaan ​​van het element (a - b) impliceert in de meeste gevallen de factor die de uitdrukking (x - a) vereenvoudigt in het quotiënt van de Fermat-limiet.

- Voltooiing van vierkanten (ax ² + bx); Na het voltooien van vierkanten, wordt een binominale Newton verkregen, waarbij een van de twee factoren wordt vereenvoudigd met de uitdrukking (x - a), waardoor de onbepaaldheid wordt verbroken.

- Conjugaat (a + b) / (a ​​+ b); Het vermenigvuldigen en delen van de uitdrukking door het geconjugeerde van een of andere factor kan een grote hulp zijn om de onbepaaldheid te doorbreken.

- Veelvoorkomende factor; In veel gevallen verbergt het resultaat van het bedienen van de teller van de Fermat-limiet f (x) - f (a) de factor (x - a) die nodig is om te factoriseren. Hiervoor wordt zorgvuldig geobserveerd welke elementen in elke factor van de uitdrukking worden herhaald.

Toepassing van de Fermat-limiet voor maxima en minima

Hoewel de Fermat-limiet geen onderscheid maakt tussen maxima en minima, omdat het alleen de kritische punten kan identificeren volgens zijn definitie, wordt het vaak gebruikt bij de berekening van toppen of vloeren van functies in het vlak.

Een basiskennis van de grafische theorie van functies in combinatie met deze stelling kan voldoende zijn om maximale en minimale waarden tussen functies vast te stellen. In feite kunnen de buigpunten worden gedefinieerd door middel van de stelling van de gemiddelde waarde naast de stelling van Fermat.

De kubieke gelijkenis

De belangrijkste paradox voor Fermat kwam van het bestuderen van de kubische parabool. Omdat zijn aandacht was gericht op de raaklijnen van een functie voor een bepaald punt, kwam hij het probleem tegen om die raaklijn te definiëren op het buigpunt in de functie.

Het leek onmogelijk om de raaklijn tot een punt te bepalen. Zo begint het onderzoek dat aanleiding zou geven tot de differentiaalrekening. Later gedefinieerd door belangrijke exponenten van de wiskunde.

Maximus en minimaal

De studie van de maxima en minima van een functie was een uitdaging voor de klassieke wiskunde, waar een eenduidige en praktische methode nodig was om ze te definiëren.

Fermat creëerde een methode die gebaseerd is op de werking van kleine differentiële waarden, die na factoringprocessen worden geëlimineerd en plaats maken voor de gezochte maximale en minimale waarde.

Deze variabele zal in de oorspronkelijke uitdrukking moeten worden geëvalueerd om de coördinaat van dat punt te bepalen, die samen met analytische criteria zal worden gedefinieerd als het maximum of minimum van de uitdrukking.

Methode

In zijn methode gebruikt Fermat de letterlijke symboliek van Vieta, die bestond in het exclusieve gebruik van hoofdletters: klinkers voor onbekenden en medeklinkers voor bekende grootheden.

Voor het geval van radicale waarden implementeerde Fermat een bepaald proces, dat later zou worden gebruikt bij de factorisaties van de grenzen van onbepaaldheid oneindig tussen oneindigheid.

Dit proces bestaat uit het delen van elke uitdrukking door de waarde van het gebruikte verschil. In het geval van Fermat gebruikte hij de letter E, waar na delen door de hoogste macht van E de gezochte waarde van het kritieke punt duidelijk wordt.

Geschiedenis

De Fermat-limiet is in feite een van de minst bekende bijdragen in de lange lijst van de wiskundige. Zijn studies gingen van priemgetallen naar in feite het creëren van de basis voor berekening.

Op zijn beurt stond Fermat bekend om zijn excentriciteiten met betrekking tot zijn hypothesen. Het was gebruikelijk dat hij een soort uitdaging aan de andere wiskundigen van die tijd overliet, terwijl hij de oplossing of het bewijs al had.

Hij had een grote verscheidenheid aan meningsverschillen en allianties met verschillende wiskundigen uit die tijd, die van hem hielden of er een hekel aan hadden om met hem samen te werken.

Zijn laatste stelling was de belangrijkste verantwoordelijke voor zijn wereldwijde bekendheid, waarin hij stelde dat een generalisatie van de stelling van Pythagoras voor elke graad "n" onmogelijk was. Hij beweerde een geldig bewijs ervan te hebben, maar stierf voordat hij het openbaar maakte.

Deze demonstratie moest ongeveer 350 jaar wachten. In 1995 maakten de wiskundigen Andrew Wiles en Richard Taylor een einde aan de ongerustheid die Fermat achterliet en bewees ze dat hij gelijk had met een geldig bewijs van zijn laatste stelling.

Opdrachten

Oefening 1

Definieer de helling van de raaklijn aan de curve f (x) = x ² op het punt (4, 16)

Vervanging in de uitdrukking van de Fermat-limiet hebben we:

De factoren (x - 4) zijn vereenvoudigd

Bij het evalueren heb je

M = 4 + 4 = 8

Oefening 2

Definieer het kritieke punt van de uitdrukking f (x) = x ² + 4x met behulp van de Fermat-limiet

Er wordt een strategische groepering van elementen uitgevoerd om de paren XX ₀ te groeperen

De kleinste kwadraten worden ontwikkeld

Let op de gemeenschappelijke factor XX _{0 en extraheer}

De uitdrukking kan nu worden vereenvoudigd en de onbepaaldheid kan worden doorbroken

Op de minimum punten is bekend dat de helling van de raaklijn gelijk is aan nul. Op deze manier kunnen we de gevonden uitdrukking gelijk maken aan nul en de waarde X ₀ oplossen

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Om de ontbrekende coördinaat te krijgen, is het alleen nodig om het punt in de oorspronkelijke functie te evalueren

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

Het kritische punt is P (-2, -4).

Referenties

1. Echte analyse. Een historische benadering Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 augustus. 1999.
2. The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601-1665: Second Edition. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 juni. 2018
3. Van Fermat tot Minkowski: lezingen over de getallenleer en de historische ontwikkeling ervan. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermat's laatste stelling: een genetische inleiding tot de algebraïsche getaltheorie. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 januari 2000
5. Fermat Days 85: Wiskunde voor optimalisatie. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 januari. 1986